Найдите острый угол который образует с осью ординат касательная к графику функции f(x) в точке х0,если...

Для того чтобы найти острый угол, который образует касательная к графику функции f(x) в точке x0 = 1 с осью ординат, нужно найти угловой коэффициент касательной и затем найти угол, который он образует с осью ординат.

Сначала найдем производную функции f(x) = √(x^2 + 2). Для этого возьмем производную от x^2 + 2 и затем поделим на 2√(x^2 + 2):

f'(x) = (1/2) * (2x) / √(x^2 + 2) = x / √(x^2 + 2)

Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x0 = 1. Для этого подставим x0 = 1 в выражение для производной:

f'(1) = 1 / √(1^2 + 2) = 1 / √3

Угловой коэффициент касательной равен 1 / √3. Теперь найдем тангенс угла между осью ординат и касательной:

tg(α) = 1 / √3

Угол α образует с осью ординат острый угол, поэтому:

α = arctg(1 / √3)

Получаем, что острый угол, который образует касательная к графику функции f(x) в точке x0 = 1 с осью ординат, равен arctg(1 / √3).

Чтобы найти острый угол, который образует касательная к графику функции с осью ординат в заданной точке, необходимо сначала определить уравнение касательной и её угловой коэффициент.

Данная функция:
[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2} ]

1. Найдем производную функции ( f(x) ):

   Для начала используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть ( u(x) = x^2 + 2 ), тогда ( f(x) = \sqrt{u(x)} = (u(x))^{1/2} ).

   Производная ( f(x) ) будет: [ f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 2)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} ]

2. Найдем значение производной в точке ( x_0 = 1 ):

   [ f'(1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

   Это значение является угловым коэффициентом касательной в точке ( x_0 = 1 ).

3. Определим угол между касательной и осью ординат:

   Угловой коэффициент касательной ( k = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}} ) соответствует углу (\theta) с осью абсцисс, где: [ \tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

   Угол (\theta) с осью абсцисс можно найти как: [ \theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

   Для нахождения угла (\phi) с осью ординат, нужно учесть, что: [ \phi = 90^\circ - \theta ]

4. Определим острый угол:

   Так как угол между касательной и осью ординат по определению является дополнительным до прямого угла, и (\theta) в данном случае является острым углом (поскольку (\tan(\theta) > 0)), то угол (\phi) также будет острым.

   Итоговый острый угол (\phi) равен: [ \phi = 90^\circ - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

Таким образом, острый угол, который образует касательная с осью ординат, равен ( 90^\circ - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ). Разумеется, можно вычислить численное значение, но данное выражение уже даёт точный ответ в аналитической форме.

Для нахождения угла между касательной и осью ординат нужно найти производную функции в точке x0=1. В данном случае функция f(x) = √(x^2 + 2), производная f'(x) = (2x) / (2√(x^2 + 2)), f'(1) = 1/√3. Тангенс угла наклона касательной к оси ординат равен f'(1), поэтому угол будет arctg(1/√3). Ответ: arctg(1/√3).