Найдите облать значений функции у=х^2-2х-3, где х принадлежит [0;3].

Область значений функции y=x^2-2x-3 при x∈[0;3] - это множество всех возможных значений функции при указанных значениях x. Для данной функции область значений будет [-6;0].

Для того чтобы найти область значений функции у=х^2-2х-3, где х принадлежит [0;3], нужно сначала найти верхнюю и нижнюю границы значений функции на данном интервале.

1. Найдем верхнюю границу значений функции: Подставим x=3 в у=х^2-2х-3: y = 3^2 - 2*3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 Таким образом, максимальное значение функции на интервале [0;3] равно 0.

2. Найдем нижнюю границу значений функции: Подставим x=0 в у=х^2-2х-3: y = 0^2 - 2*0 - 3 = -3 Таким образом, минимальное значение функции на интервале [0;3] равно -3.

Итак, область значений функции у=х^2-2х-3, где х принадлежит [0;3], составляет от -3 до 0 включительно.

Для нахождения области значений функции ( y = x^2 - 2x - 3 ) на заданном интервале ( x \in [0, 3] ), начнем с исследования данной квадратичной функции.

1. Находим вершину параболы: Функция ( y = x^2 - 2x - 3 ) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен). Координаты вершины параболы можно найти по формулам: [ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ] Подставим ( x_0 = 1 ) в уравнение функции для нахождения ( y_0 ): [ y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -4) ).

2. Значения функции на концах интервала:

   • При ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 ]
   • При ( x = 3 ): [ y = 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 ]

3. Анализ полученных результатов:

   • Вершина параболы находится в точке ( (1, -4) ), что является минимальным значением функции на данном интервале, так как ветви параболы направлены вверх.
   • Значения функции на концах интервала: ( y(0) = -3 ) и ( y(3) = 0 ). Заметим, что ( -3 ) больше, чем ( -4 ) (минимум в вершине), и ( 0 ) является максимальным значением функции на интервале.

Итак, область значений функции ( y = x^2 - 2x - 3 ) на интервале ( x \in [0, 3] ) — это отрезок ([-4, 0]).