Найдите область значений функции y=x^2+4x-21

Для нахождения области значений функции ( y = x^2 + 4x - 21 ), начнем с переписывания функции в виде, удобном для анализа. Приведем квадратичный трехчлен к вершинной форме.

1. Выделение полного квадрата: [ y = x^2 + 4x - 21 = (x^2 + 4x + 4) - 25 = (x + 2)^2 - 25 ] Функция теперь записана как ( y = (x + 2)^2 - 25 ), где ( (x + 2)^2 \geq 0 ) для всех ( x ).

2. Анализ функции: Так как квадрат любого числа неотрицателен, ( (x + 2)^2 ) принимает минимальное значение, равное 0, когда ( x = -2 ). Подставляя ( x = -2 ) в уравнение, получаем минимальное значение ( y ): [ y = (-2 + 2)^2 - 25 = 0 - 25 = -25 ]

   Максимального значения ( y ) не имеет, так как ( (x + 2)^2 ) может быть сколь угодно большим.

3. Область значений функции: Так как минимальное значение ( y ) равно -25 и оно может возрастать до плюс бесконечности, область значений функции ( y = x^2 + 4x - 21 ) — это все числа, начиная от -25 и до плюс бесконечности.

Таким образом, область значений данной функции: ( \left{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq -25 \right} ) или же в интервальной нотации: ( [-25, \infty) ).

Область значений функции y = x^2 + 4x - 21 определяется значением выражения x^2 + 4x - 21 при изменении значения переменной x. Чтобы найти область значений, нужно рассмотреть, как меняется значение выражения при изменении переменной.

Сначала найдем корни уравнения x^2 + 4x - 21 = 0. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 4, c = -21.

D = 4^2 - 41(-21) = 16 + 84 = 100.

Теперь найдем корни уравнения: x1,2 = (-b ± √D) / 2a.

x1 = (-4 + √100) / 2 = (-4 + 10) / 2 = 6 / 2 = 3. x2 = (-4 - √100) / 2 = (-4 - 10) / 2 = -14 / 2 = -7.

Таким образом, корни уравнения x^2 + 4x - 21 = 0 равны 3 и -7.

Далее, для нахождения области значений нужно рассмотреть, как меняется значение функции при изменении переменной x. Функция y = x^2 + 4x - 21 является параболой, которая открывается вверх (коэффициент при x^2 положителен), и имеет вершину в точке с абсциссой x = -b / 2a = -4 / 2 = -2.

Таким образом, область значений функции y = x^2 + 4x - 21 – это множество всех действительных чисел y, таких что y ≥ -2 (так как парабола открывается вверх).

Итак, область значений функции y = x^2 + 4x - 21 – это множество всех действительных чисел y, таких что y ≥ -2.