Найдите область значений функции у=(корень -х^2+4х+45), С подробным объяснением пожалуйста! Спасибо!

Чтобы найти область значений функции ( y = \sqrt{-x^2 + 4x + 45} ), надо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем будет неотрицательным, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Начнем с определения области определения подкоренного выражения:

1. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: [ -x^2 + 4x + 45 \geq 0 ]

2. Решим неравенство: [ -x^2 + 4x + 45 \geq 0 ] Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения: [ -x^2 + 4x + 45 = 0 ] Перепишем уравнение в стандартном виде: [ x^2 - 4x - 45 = 0 ] Используем формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = -45 ): [ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm 14}{2} ] Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9 ] [ x_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5 ]

3. Теперь у нас есть корни ( x = -5 ) и ( x = 9 ). Для определения промежутков, где выражение (-x^2 + 4x + 45) неотрицательно, исследуем знак этого выражения на промежутках, определяемых корнями: ( (-\infty, -5) ), ( (-5, 9) ) и ( (9, \infty) ).

4. Проверим знак выражения на каждом из этих промежутков:

   • Для ( x \in (-\infty, -5) ), например, ( x = -6 ): [ -(-6)^2 + 4(-6) + 45 = -36 - 24 + 45 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]

   • Для ( x \in (-5, 9) ), например, ( x = 0 ): [ -0^2 + 4 \cdot 0 + 45 = 45 \quad (\text{положительно}) ]

   • Для ( x \in (9, \infty) ), например, ( x = 10 ): [ -10^2 + 4 \cdot 10 + 45 = -100 + 40 + 45 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]

Итак, выражение (-x^2 + 4x + 45 \geq 0) выполняется только на промежутке ([-5, 9]).

1. Теперь найдем минимальное и максимальное значение функции (\sqrt{-x^2 + 4x + 45}) на этом промежутке:

   • На концах промежутка: [ x = -5: \quad \sqrt{-(-5)^2 + 4(-5) + 45} = \sqrt{-25 - 20 + 45} = \sqrt{0} = 0 ] [ x = 9: \quad \sqrt{-9^2 + 4 \cdot 9 + 45} = \sqrt{-81 + 36 + 45} = \sqrt{0} = 0 ]

   • Так как подкоренное выражение является квадратичной функцией, которая принимает максимальное значение в вершине параболы, найдем вершину: Вершина параболы находится в точке: [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot -1} = 2 ] Подставим ( x = 2 ) в выражение: [ y = \sqrt{-(2)^2 + 4 \cdot 2 + 45} = \sqrt{-4 + 8 + 45} = \sqrt{49} = 7 ]

Таким образом, максимальное значение функции ( y ) — 7, а минимальное значение — 0.

Ответ: область значений функции ( y = \sqrt{-x^2 + 4x + 45} ) — это интервал ([0, 7]).

Для того чтобы найти область значений функции у=(корень -х^2+4х+45), нужно определить, для каких значений переменной х выражение под корнем (-х^2+4х+45) будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует.

Для начала выразим дискриминант квадратного трехчлена -х^2+4х+45, который равен D = 16 - 4(-1)45 = 16 + 180 = 196.

Так как дискриминант положителен, то у нас есть два корня уравнения -х^2+4х+45 = 0: х1 = (-4 + √196) / -2 = (-4 + 14) / -2 = 5 и х2 = (-4 - √196) / -2 = (-4 - 14) / -2 = 9.

Получается, что функция у=(корень -х^2+4х+45) определена для всех значений х от 5 до 9 включительно.

Таким образом, область значений функции у=(корень -х^2+4х+45) равна отрезку [√5; √9].

Область значений функции у=(корень -х^2+4х+45) определяется сначала нахождением дискриминанта уравнения под корнем: D = 4^2 - 4(-1)45 = 16 + 180 = 196. Дискриминант положительный, поэтому у уравнения есть два корня x1 = (-4 + 14)/(-2) = 10/(-2) = -5 и x2 = (-4 - 14)/(-2) = -18/(-2) = 9. Значения функции определены для всех x в интервале от -5 до 9 включительно, так как при x=-5 и x=9 значение под корнем равно нулю, что соответствует корректному определению функции. Следовательно, область значений функции у=(корень -х^2+4х+45) равна от -5 до 9.