Найдите область определения выражения корень из x2 +16x+64/x2-49

Для того чтобы найти область определения данного выражения, необходимо обратить внимание на то, что в знаменателе у нас есть выражение x^2 - 49. Это выражение можно представить как разность квадратов: (x + 7)(x - 7).

Таким образом, область определения выражения будет состоять из всех значений переменной x, при которых знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения будет следующей: x ≠ 7 и x ≠ -7.

Также стоит отметить, что в числителе у нас есть корень из x^2 + 16x + 64, который равен (x + 8). Следовательно, выражение можно упростить до (x + 8) / (x + 7)(x - 7).

Таким образом, область определения данного выражения - все действительные числа, кроме x = -7 и x = 7.

Чтобы найти область определения выражения (\sqrt{\frac{x^2 + 16x + 64}{x^2 - 49}}), необходимо определить, при каких значениях (x) выражение под корнем существует и определено.

Шаг 1: Область определения знаменателя

Для начала рассмотрим знаменатель (x^2 - 49). Выражение в знаменателе не должно быть равно нулю, так как деление на ноль не определено.

Решим уравнение:

[ x^2 - 49 = 0 ]

Это можно переписать как:

[ (x - 7)(x + 7) = 0 ]

Отсюда следует, что (x = 7) или (x = -7). Следовательно, при этих значениях выражение не определено. Таким образом, из области определения исключаем точки (x = 7) и (x = -7).

Шаг 2: Область определения подкоренного выражения

Теперь рассмотрим выражение под корнем: (\frac{x^2 + 16x + 64}{x^2 - 49}). Для того чтобы корень существовал, дробь должна быть неотрицательной:

[\frac{x^2 + 16x + 64}{x^2 - 49} \geq 0]

Шаг 3: Решение неравенства

Рассмотрим числитель:

[ x^2 + 16x + 64 ]

Этот квадратный трехчлен можно разложить на множители:

[ x^2 + 16x + 64 = (x + 8)^2 ]

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, ((x + 8)^2 \geq 0) для всех (x).

Теперь исследуем знак дроби:

1. ((x + 8)^2) всегда неотрицательно.
2. (x^2 - 49) меняет знак в точках (x = 7) и (x = -7).

При (x < -7), (x^2 - 49 > 0), и при (x > 7), (x^2 - 49 > 0). В интервале (-7 < x < 7), (x^2 - 49 < 0).

Теперь найдем, при каких значениях дробь (\frac{(x + 8)^2}{x^2 - 49} \geq 0):

• При (x < -7), ((x + 8)^2 \geq 0) и (x^2 - 49 > 0), значит, дробь неотрицательна.
• При (-7 < x < 7), ((x + 8)^2 \geq 0) и (x^2 - 49 < 0), значит, дробь отрицательна.
• При (x > 7), ((x + 8)^2 \geq 0) и (x^2 - 49 > 0), значит, дробь неотрицательна.

Шаг 4: Объединение условий

Итак, область определения выражения будет:

[ (-\infty, -7) \cup (7, +\infty) ]

Таким образом, выражение (\sqrt{\frac{x^2 + 16x + 64}{x^2 - 49}}) определено для всех (x \in (-\infty, -7) \cup (7, +\infty)).