Найдите область определения функции y=(x^2-9)^-1/3

Для нахождения области определения функции ( y = (x^2 - 9)^{-\frac{1}{3}} ) необходимо понимать, при каких значениях ( x ) выражение под корнем (или в данном случае в степени) определено и корректно для выполнения операции возведения в степень.

Функция имеет вид ( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2 - 9}} ). Основная проблема здесь — знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Также, так как степень является кубическим корнем, то значение под корнем может быть любым числом (положительным, отрицательным или нулём), за исключением того, что само выражение не должно обращаться в ноль.

1. Определим, когда ( x^2 - 9 = 0 ): [ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 ] Значит, при ( x = 3 ) и ( x = -3 ) выражение ( x^2 - 9 ) обращается в ноль, что делает знаменатель неопределённым (деление на ноль).

2. Так как кубический корень определен для всех действительных чисел, то других ограничений для ( x^2 - 9 ) нет. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Исходя из этого, область определения функции — это все действительные числа, за исключением тех, при которых ( x^2 - 9 = 0 ), то есть ( x \neq 3 ) и ( x \neq -3 ).

Математически это можно записать как: [ \text{D}(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty) ] Или, используя другой формат записи: [ x \in \mathbb{R} \setminus {-3, 3} ]

Таким образом, область определения функции ( y = (x^2 - 9)^{-\frac{1}{3}} ) включает все действительные числа, кроме ( -3 ) и ( 3 ).

Область определения функции y=(x^2-9)^-1/3 определяется условием, что выражение под знаком корня в знаменателе не должно быть равно нулю.

(x^2-9) не может быть равно нулю, так как при делении на ноль функция становится неопределенной.

Решим неравенство x^2-9 ≠ 0:

x^2-9 ≠ 0 x^2 ≠ 9 x ≠ ±3

Таким образом, областью определения функции y=(x^2-9)^-1/3 является множество всех действительных чисел, кроме 3 и -3.

Таким образом, область определения функции y=(x^2-9)^-1/3 - это множество всех действительных чисел, кроме 3 и -3.