Найдите область определения функции y=корень 6-ой степени 4х^2-3x-7.Помогите, очень нужно.

Для того чтобы найти область определения функции y=корень 6-ой степени из (4x^2-3x-7), мы должны убедиться, что выражение под корнем неотрицательно.

Для начала найдем корни уравнения 4x^2-3x-7=0, используя дискриминант:

D = (-3)^2 - 44(-7) = 9 + 112 = 121

x1,2 = (3 ± √121) / 8 x1 = (3 + 11) / 8 = 14/8 = 1.75 x2 = (3 - 11) / 8 = -8/8 = -1

Таким образом, корни уравнения равны x1 = 1.75 и x2 = -1.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для выражения 4x^2-3x-7 и определить область определения: x | 4x^2-3x-7

-∞ | - -1 | + 1.75| - +∞ | +

Из таблицы видно, что выражение 4x^2-3x-7 положительно на интервале (-∞, -1) и (1.75, +∞), а значит, область определения функции y=корень 6-ой степени из (4x^2-3x-7) - это интервал (-∞, -1) и (1.75, +∞).

Область определения функции y = корень 6-ой степени из (4x^2 - 3x - 7) - это множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно.

Для того чтобы найти область определения, необходимо решить неравенство 4x^2 - 3x - 7 ≥ 0.

Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt[6]{4x^2 - 3x - 7} ), необходимо понять, при каких значениях переменной ( x ) выражение под корнем имеет смысл. Для шестого корня (или корня любой четной степени) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть ( 4x^2 - 3x - 7 \geq 0 ).

Рассмотрим неравенство ( 4x^2 - 3x - 7 \geq 0 ).

1. Найдем корни квадратного уравнения ( 4x^2 - 3x - 7 = 0 ):

   Используем дискриминант ( D ) для нахождения корней: [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 ] Корни уравнения находятся по формуле: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{8} = \frac{3 \pm 11}{8} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 11}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}, \quad x_2 = \frac{3 - 11}{8} = \frac{-8}{8} = -1 ]

2. Определим знаки выражения ( 4x^2 - 3x - 7 ) на промежутках, разделенных корнями:

   Корни разбивают числовую ось на три промежутка: [ x < -1, \quad -1 < x < \frac{7}{4}, \quad x > \frac{7}{4} ]

   Проверим знаки на каждом из этих промежутков, подставляя значения ( x ) из каждого интервала в выражение ( 4x^2 - 3x - 7 ).

   • Для ( x < -1 ), возьмем, например, ( x = -2 ): [ 4(-2)^2 - 3(-2) - 7 = 16 + 6 - 7 = 15 \quad (\text{положительное}) ]
   • Для ( -1 < x < \frac{7}{4} ), возьмем, например, ( x = 0 ): [ 4(0)^2 - 3(0) - 7 = -7 \quad (\text{отрицательное}) ]
   • Для ( x > \frac{7}{4} ), возьмем, например, ( x = 2 ): [ 4(2)^2 - 3(2) - 7 = 16 - 6 - 7 = 3 \quad (\text{положительное}) ]

3. Запишем область определения функции:

   Таким образом, ( 4x^2 - 3x - 7 \geq 0 ) выполняется на следующих промежутках: [ x \in (-\infty, -1] \cup \left[ \frac{7}{4}, +\infty \right) ]

Итак, область определения функции ( y = \sqrt[6]{4x^2 - 3x - 7} ) составляет: [ x \in (-\infty, -1] \cup \left[ \frac{7}{4}, +\infty \right) ]