Найдите область определения функции y=√2x-x^2
Найдите область определения функции y=√2x-x^2
Для функции y=√(2x-x^2) областью определения будет множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно, то есть 2x-x^2 ≥ 0.
Для того чтобы найти область определения функции y=√(2x-x^2), нужно рассмотреть значения переменной x, при которых функция имеет смысл.
Выражение под корнем (2x-x^2) должно быть неотрицательным, так как извлечение корня из отрицательного числа не имеет смысла в рамках действительных чисел. Значит, 2x-x^2 >= 0.
Для нахождения области определения нужно решить неравенство 2x-x^2 >= 0. Для этого можно представить его в виде x^2 - 2x <= 0 и решить уравнение x^2 - 2x = 0.
x^2 - 2x = 0 x(x-2) = 0 x = 0 или x = 2
Таким образом, область определения функции y=√(2x-x^2) будет отрезком [0, 2], так как именно на этом отрезке значение выражения 2x-x^2 будет неотрицательным.
Область определения функции ( y = \sqrt{2x - x^2} ) - это множество всех значений ( x ), при которых выражение под корнем, то есть ( 2x - x^2 ), неотрицательно (больше либо равно нулю).
Для того, чтобы найти область определения этой функции, нужно решить неравенство: [ 2x - x^2 \geq 0 ]
Это квадратное неравенство можно переписать в виде: [ -x^2 + 2x \geq 0 ] [ x^2 - 2x \leq 0 ]
Решим это неравенство через факторизацию. Вынося ( x ) за скобки, получаем: [ x(2 - x) \geq 0 ]
Далее рассмотрим нули этого выражения: [ x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - x = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]
Теперь анализируем знаки произведения на интервалах, которые определяются этими корнями: ( (-\infty, 0) ), ( [0, 2] ), и ( (2, +\infty) ).
Таким образом, произведение ( x(2-x) ) неотрицательно на отрезке ( [0, 2] ).
Итак, областью определения функции ( y = \sqrt{2x - x^2} ) является отрезок ( [0, 2] ).
