Найдите НОД и НОК чисел: а) 2 в 32 степени * З в 4степени * 11 в 31 степени и 2 в 23 степени * З в 7...

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, разложенных на простые множители, нужно использовать свойства этих разложений.

Задача (а):

Даны два числа:

1. (2^{32} \times 3^4 \times 11^{31})
2. (2^{23} \times 3^7 \times 11^{14})

Наибольший общий делитель (НОД):

Для нахождения НОД выбираем минимальные степени каждого из простых множителей:

• Для 2: (\min(32, 23) = 23)
• Для 3: (\min(4, 7) = 4)
• Для 11: (\min(31, 14) = 14)

Следовательно, НОД равен: [ 2^{23} \times 3^4 \times 11^{14} ]

Наименьшее общее кратное (НОК):

Для нахождения НОК выбираем максимальные степени каждого из простых множителей:

• Для 2: (\max(32, 23) = 32)
• Для 3: (\max(4, 7) = 7)
• Для 11: (\max(31, 14) = 31)

Следовательно, НОК равен: [ 2^{32} \times 3^7 \times 11^{31} ]

Задача (б):

Даны два числа:

1. (4^{24} \times 6^{14} \times 9^{8})
2. (8^{18} \times 10^{17} \times 12^{16})

Сначала разложим их на простые множители:

• (4^{24} = (2^2)^{24} = 2^{48})
• (6^{14} = (2 \times 3)^{14} = 2^{14} \times 3^{14})
• (9^{8} = (3^2)^8 = 3^{16})

Таким образом, первое число равно: [ 2^{48} \times 2^{14} \times 3^{14} \times 3^{16} = 2^{62} \times 3^{30} ]

Теперь второе число:

• (8^{18} = (2^3)^{18} = 2^{54})
• (10^{17} = (2 \times 5)^{17} = 2^{17} \times 5^{17})
• (12^{16} = (2^2 \times 3)^{16} = 2^{32} \times 3^{16})

Таким образом, второе число равно: [ 2^{54} \times 2^{17} \times 5^{17} \times 2^{32} \times 3^{16} = 2^{103} \times 3^{16} \times 5^{17} ]

Наибольший общий делитель (НОД):

• Для 2: (\min(62, 103) = 62)
• Для 3: (\min(30, 16) = 16)
• Для 5: 5 в первом числе отсутствует, поэтому степень 0.

Следовательно, НОД равен: [ 2^{62} \times 3^{16} ]

Наименьшее общее кратное (НОК):

• Для 2: (\max(62, 103) = 103)
• Для 3: (\max(30, 16) = 30)
• Для 5: (\max(0, 17) = 17)

Следовательно, НОК равен: [ 2^{103} \times 3^{30} \times 5^{17} ]

Таким образом, мы определили НОД и НОК для каждой пары чисел.

а) Для нахождения НОД и НОК данных чисел необходимо разложить их на простые множители.

a) 2^32 3^4 11^31 = 2^23 3^7 11^14

НОД(2^32 3^4 11^31 , 2^23 3^7 11^14) = 2^23 3^4 11^14

НОК(2^32 3^4 11^31 , 2^23 3^7 11^14) = 2^32 3^7 11^31

б) 4^24 6^14 9^8 = 2^48 3^28 3^16 3^8 = 2^48 3^52

8^18 10^17 12^16 = 2^54 2^34 3^34 3^32 2^48 = 2^102 * 3^66

НОД(4^24 6^14 9^8 , 8^18 10^17 12^16) = 2^48 * 3^28

НОК(4^24 6^14 9^8 , 8^18 10^17 12^16) = 2^102 * 3^66

а) НОД = 2^23 3^4 11^14, НОК = 2^32 3^7 11^31

б) НОД = 2^18 6^14 9^8, НОК = 2^24 6^14 9^8 10^17 12^16