Найдите наименьший положительный период функции y = cos x/4

Чтобы найти наименьший положительный период функции ( y = \cos\left(\frac{x}{4}\right) ), нужно понять, как изменение аргумента влияет на периодичность косинуса.

Косинус — это периодическая функция с основным периодом ( 2\pi ). Это значит, что:

[ \cos(\theta) = \cos(\theta + 2\pi k) ]

для любого целого числа ( k ).

В функции ( y = \cos\left(\frac{x}{4}\right) ), аргумент косинуса изменен с ( x ) на ( \frac{x}{4} ). Чтобы найти новый период, нужно определить, при каком изменении ( x ) аргумент ( \frac{x}{4} ) увеличивается на ( 2\pi ):

[ \frac{x}{4} + 2\pi = \frac{x + T}{4} ]

Отсюда видно, что:

[ \frac{T}{4} = 2\pi \implies T = 8\pi ]

Таким образом, наименьший положительный период функции ( y = \cos\left(\frac{x}{4}\right) ) равен ( 8\pi ).

Это значит, что функция повторяет свои значения каждые ( 8\pi ) единиц вдоль оси ( x ).

Для функции y = cos(x/4) период можно найти следующим образом:

По определению, период функции - это такое значение T, что для любого x выполняется равенство f(x) = f(x + T). Для функции y = cos(x/4) это будет:

cos(x/4) = cos((x + T)/4)

С учетом периодичности функции косинус, мы знаем, что cos(a) = cos(b) когда (a - b) равно кратному числу 2π.

Используем это свойство для нахождения периода функции:

x/4 = (x + T)/4 + 2πn, где n - целое число

x = x + T + 8πn

T = 8πn

Следовательно, наименьший положительный период функции y = cos(x/4) равен 8π.