Найдите наименьшее значение функции y=x√x-3x+1 на отрезке[1;9]. .
Найдите наименьшее значение функции y=x√x-3x+1 на отрезке[1;9]. .
Наименьшее значение функции y=x√x-3x+1 на отрезке [1;9] равно -8.
Для решения задачи на нахождение наименьшего значения функции ( y = x\sqrt{x} - 3x + 1 ) на отрезке [1; 9], начнем с упрощения функции и исследования её производной.
Упрощаем функцию: Функция может быть записана как ( y = x^{3/2} - 3x + 1 ).
Находим производную функции: [ y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3. ]
Решаем уравнение ( y' = 0 ) для критических точек: [ \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = 0 \implies \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 \implies x^{1/2} = 2 \implies x = 4. ]
Проверяем, является ли точка x=4 минимумом на интервале [1; 9]: Подставим ( x = 4 ) в исходное уравнение: [ y(4) = 4 \cdot 2 - 3 \cdot 4 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3. ]
Проверяем значения функции на концах отрезка:
Сравниваем значения в критической точке и на концах отрезка:
Наименьшее из значений ( y ) на отрезке [1; 9] достигается при ( x = 4 ) и равно ( -3 ).
Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [1; 9] равно (-3), и оно достигается при ( x = 4 ).
Для нахождения наименьшего значения функции y=x√x-3x+1 на отрезке [1;9] необходимо найти критические точки функции внутри данного отрезка и сравнить их значения с конечными точками отрезка.
Для начала найдем производную функции y=x√x-3x+1: y' = (√x + x/2) - 3
Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: (√x + x/2) - 3 = 0 √x + x/2 = 3 Умножим обе части уравнения на 2: 2√x + x = 6 Возведем обе части уравнения в квадрат: 4x + x^2 = 36 x^2 + 4x - 36 = 0 (x+9)(x-4) = 0 x = 4 (положительное значение, так как x на отрезке [1;9])
Теперь найдем значение функции в найденной критической точке и на концах отрезка: y(1) = 1√1 - 31 + 1 = -1 y(4) = 4√4 - 34 + 1 = 42 - 12 + 1 = -3 y(9) = 9√9 - 39 + 1 = 9*3 - 27 + 1 = -8
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке [1;9] равно -8 и достигается при x=9.
