Найдите наименьшее значение функции y=x^3-16x^2+64x+7 на отрезке [7;11]

Наименьшее значение функции y=x^3-16x^2+64x+7 на отрезке [7;11] равно -63.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = x^3 - 16x^2 + 64x + 7 ) на отрезке ([7, 11]), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите производную функции

Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки, где возможно экстремум:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 16x^2 + 64x + 7) = 3x^2 - 32x + 64 ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Чтобы найти критические точки, решим уравнение ( y' = 0 ):

[ 3x^2 - 32x + 64 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1024 - 768 = 256 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm 16}{6} ]

[ x_1 = \frac{32 + 16}{6} = \frac{48}{6} = 8 ] [ x_2 = \frac{32 - 16}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} ]

Шаг 3: Проверка критических точек на отрезке

Поскольку нас интересует отрезок ([7, 11]), проверим, какие из найденных критических точек лежат на этом отрезке. Из критических точек (x_1 = 8) находится внутри отрезка ([7, 11]), а (x_2 = \frac{8}{3}) не входит в этот отрезок.

Шаг 4: Вычисление значений функции в критических точках и концах отрезка

Теперь найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

1. ( y(7) = 7^3 - 16 \times 7^2 + 64 \times 7 + 7 ) [ = 343 - 784 + 448 + 7 = 14 ]

2. ( y(8) = 8^3 - 16 \times 8^2 + 64 \times 8 + 7 ) [ = 512 - 1024 + 512 + 7 = 7 ]

3. ( y(11) = 11^3 - 16 \times 11^2 + 64 \times 11 + 7 ) [ = 1331 - 1936 + 704 + 7 = 106 ]

Шаг 5: Определение наименьшего значения

Сравнив полученные значения, наименьшее значение функции на отрезке ([7, 11]) равно 7, которое достигается в точке (x = 8).

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 7.

Для нахождения наименьшего значения функции y=x^3-16x^2+64x+7 на отрезке [7;11] необходимо вычислить значения функции в концах отрезка (x=7 и x=11) и в критических точках, которые являются точками экстремума функции.

Для нахождения критических точек необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю: y'(x) = 3x^2 - 32x + 64 Приравниваем: 3x^2 - 32x + 64 = 0 Далее решаем квадратное уравнение и находим критические точки x1 и x2.

После нахождения критических точек и значений функции в концах отрезка [7;11], выбираем наименьшее значение и определяем, при каком x оно достигается.

Таким образом, после вычислений можно найти наименьшее значение функции y=x^3-16x^2+64x+7 на отрезке [7;11].