Найдите наименьшее значение функции y = e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1] Помогите, пожалуйста! Как...

Для того чтобы найти наименьшее значение функции ( y = e^{2x} - 2e^x + 8 ) на отрезке ([-2; 1]), нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и анализ значений функции на границах отрезка.

Шаг 1: Найдите первую производную функции

Чтобы найти критические точки, где функция может иметь экстремумы, нам нужно найти первую производную ( y ) по ( x ):

[ y = e^{2x} - 2e^x + 8 ]

Применим правила дифференцирования:

[ y' = \frac{d}{dx} (e^{2x} - 2e^x + 8) ]

Первая производная ( e^{2x} ) равна ( 2e^{2x} ), а производная ( -2e^x ) равна ( -2e^x ). Константа 8 исчезает при дифференцировании:

[ y' = 2e^{2x} - 2e^x ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Найдем значения ( x ), при которых первая производная равна нулю:

[ 2e^{2x} - 2e^x = 0 ]

Разделим уравнение на 2:

[ e^{2x} - e^x = 0 ]

Обозначим ( e^x ) как ( u ). Тогда уравнение станет:

[ u^2 - u = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ u(u - 1) = 0 ]

Следовательно,

[ u = 0 \quad \text{или} \quad u = 1 ]

Поскольку ( u = e^x ), ( e^x ) всегда положительно, то ( e^x = 0 ) не имеет решений. Остается:

[ e^x = 1 ]

Тогда ( x = 0 ) (поскольку ( e^0 = 1 )).

Шаг 3: Проверка значений функции на границах и в критических точках

Теперь нужно найти значение функции в критической точке ( x = 0 ) и на границах отрезка ([-2; 1]):

1. На границе ( x = -2 ):

[ y(-2) = e^{2 \cdot (-2)} - 2e^{-2} + 8 ] [ y(-2) = e^{-4} - 2e^{-2} + 8 ]

1. В критической точке ( x = 0 ):

[ y(0) = e^{2 \cdot 0} - 2e^0 + 8 ] [ y(0) = 1 - 2 \cdot 1 + 8 ] [ y(0) = 1 - 2 + 8 ] [ y(0) = 7 ]

1. На границе ( x = 1 ):

[ y(1) = e^{2 \cdot 1} - 2e^1 + 8 ] [ y(1) = e^2 - 2e + 8 ]

Шаг 4: Сравнение значений функции

Теперь нужно сравнить значения функции, которые мы нашли:

1. ( y(-2) = e^{-4} - 2e^{-2} + 8 \approx 8 - 0.2707 )
2. ( y(0) = 7 )
3. ( y(1) = e^2 - 2e + 8 \approx 7.3891 - 5.4366 + 8 \approx 9.9525 )

Из этих значений видно, что ( y(-2) \approx 7.7293 ), ( y(0) = 7 ), и ( y(1) \approx 9.9525 ).

Заключение

Наименьшее значение функции ( y = e^{2x} - 2e^x + 8 ) на отрезке ([-2; 1]) равно 7 и достигается при ( x = 0 ).

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо найти ее производную и найти точки экстремума.

Сначала найдем производную функции y = e^2x - 2e^x + 8: y' = 2e^2x - 2e^x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2e^2x - 2e^x = 0 e^x(2e^x - 2) = 0 e^x = 0 или 2e^x - 2 = 0

Так как экспонента никогда не равна нулю, рассмотрим второе уравнение: 2e^x - 2 = 0 2e^x = 2 e^x = 1 x = 0

Получили точку экстремума x = 0. Теперь найдем значение функции в этой точке: y(0) = e^2*0 - 2e^0 + 8 y(0) = 1 - 2 + 8 y(0) = 7

Таким образом, наименьшее значение функции y = e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1] равно 7.