Найдите наименьшее значение функции y=e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2 ;1 ]

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1], нужно сначала найти производную этой функции, приравнять ее к нулю и найти критические точки. Затем проверить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y = e^(2x) - 2e^x + 8: y' = 2e^(2x) - 2e^x

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 2e^(2x) - 2e^x = 0 2e^x(e^x - 1) = 0 e^x = 0 или e^x = 1

Так как e^x не может быть равно нулю, то e^x = 1. Отсюда x = 0.

1. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: y(-2) = e^(-4) - 2e^(-2) + 8 ≈ 7.35 y(0) = e^0 - 2e^0 + 8 = 7 y(1) = e^2 - 2e + 8 ≈ 5.39

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно примерно 5.39 и достигается при x = 1.

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = e^{2x} - 2e^x + 8 ) на отрезке ([-2, 1]) необходимо сначала найти производную функции, затем определить критические точки и исследовать поведение функции на границах отрезка.

1. Вычисление производной: Функция ( y = e^{2x} - 2e^x + 8 ) может быть переписана как ( y = (e^x)^2 - 2e^x + 8 ) для упрощения дифференцирования.

   Положим ( u = e^x ). Тогда ( y = u^2 - 2u + 8 ).

   Производная по ( u ) будет: [ \frac{dy}{du} = 2u - 2 ]

   Теперь, используя цепное правило, найдем производную по ( x ): [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (2u - 2) \cdot e^x = (2e^x - 2)e^x = 2e^{2x} - 2e^x ]

2. Нахождение критических точек: Решим уравнение (\frac{dy}{dx} = 0): [ 2e^{2x} - 2e^x = 0 ] [ 2e^x(e^x - 1) = 0 ] ( e^x \neq 0 ), следовательно, ( e^x = 1 ), откуда ( x = 0 ).

3. Исследование границ отрезка и критической точки: Найдем значения функции в точках ( x = -2 ), ( x = 0 ) и ( x = 1 ):

   • ( y(-2) = e^{-4} - 2e^{-2} + 8 )
   • ( y(0) = e^0 - 2e^0 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7 )
   • ( y(1) = e^2 - 2e + 8 )

   Вычислим или оценим эти значения:

   • ( e^{-4} \approx 0.018 ), ( e^{-2} \approx 0.135 ), следовательно, ( y(-2) \approx 0.018 - 0.27 + 8 \approx 7.748 )
   • ( y(1) = e^2 - 2e + 8 \approx 7.389 - 5.436 + 8 = 9.953 )

4. Вывод: Наименьшее значение функции на отрезке ([-2, 1]) достигается в точке ( x = 0 ) и равно ( 7 ).