Найдите наименьшее значение функции y=2^x^2+2x+5

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 2^{x^2 + 2x + 5} ), следует проанализировать выражение в показателе степени. Обозначим его за новую переменную:

[ z = x^2 + 2x + 5 ]

Теперь наша задача сведена к нахождению наименьшего значения функции ( z ).

Рассмотрим выражение ( x^2 + 2x + 5 ). Это квадратичная функция, и ее график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положителен.

Чтобы найти вершину этой параболы, используем формулу для координаты вершины квадратичной функции ( ax^2 + bx + c ):

[ x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 2 ). Подставляем эти значения в формулу:

[ x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ]

Теперь найдем значение функции ( z ) в этой точке:

[ z(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 5 ] [ z(-1) = 1 - 2 + 5 ] [ z(-1) = 4 ]

Таким образом, наименьшее значение выражения ( x^2 + 2x + 5 ) равно 4.

Теперь вернемся к исходной функции ( y = 2^{z} ). Минимальное значение ( z ) равно 4, следовательно, наименьшее значение функции ( y ) будет:

[ y = 2^4 ] [ y = 16 ]

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = 2^{x^2 + 2x + 5} ) равно 16.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции y=2^x^2+2x+5, нужно проанализировать ее поведение. Функция y=2^x^2+2x+5 представляет собой параболу, которая направлена вверх (так как коэффициент при x^2 положителен). Таким образом, минимальное значение функции будет находиться в вершине параболы.

Для того чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулу x = -b/2a, где a = 2, b = 2. Подставляем значения и получаем x = -2 / (2*2) = -1/2.

Теперь найдем значение y в точке x = -1/2. Подставляем x = -1/2 в исходную функцию и получаем y = 2^(-1/2)^2 + 2*(-1/2) + 5 = 2^(1/4) - 1 + 5 ≈ 5.85.

Таким образом, наименьшее значение функции y=2^x^2+2x+5 приблизительно равно 5.85, и оно достигается при x = -1/2.