Найдите наименьшее значение ф-и y=3x-ln(3x)+3 на отрезке [1/6;5/6]

Для нахождения наименьшего значения функции y=3x-ln(3x)+3 на отрезке [1/6;5/6] необходимо найти ее минимум. Для этого сначала найдем производную функции y'(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

y'(x) = 3 - 1/(3x)

Приравниваем производную к нулю и находим точку экстремума:

3 - 1/(3x) = 0 1/(3x) = 3 x = 1/9

Теперь необходимо проверить найденную точку экстремума и концы отрезка [1/6;5/6], чтобы найти наименьшее значение функции. Вычислим значение функции в точке x=1/9 и на концах отрезка:

y(1/6) = 3(1/6) - ln(1) + 3 = 1/2 + 3 = 7/2 y(1/9) = 3(1/9) - ln(1) + 3 = 1/3 + 3 = 10/3 y(5/6) = 3*(5/6) - ln(5/2) + 3 ≈ 1.5 - 1.609 + 3 ≈ 2.891

Сравнивая значения функции на концах отрезка и найденной точке экстремума, видим, что наименьшее значение функции y=3x-ln(3x)+3 на отрезке [1/6;5/6] равно 10/3, которое достигается в точке x=1/9.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 3x - \ln(3x) + 3 ) на отрезке ([1/6; 5/6]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Для нахождения критических точек, где функция может принимать экстремальные значения, нужно найти производную функции ( y ) по ( x ).

   [ y = 3x - \ln(3x) + 3 ]

   Производная ( y ) будет:

   [ y' = 3 - \frac{1}{3x} \cdot 3 = 3 - \frac{1}{x} ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся из условия, что производная равна нулю:

   [ 3 - \frac{1}{x} = 0 ]

   [ 3 = \frac{1}{x} ]

   [ x = \frac{1}{3} ]

   Таким образом, критическая точка на отрезке ([1/6; 5/6]) — это ( x = \frac{1}{3} ).

3. Проверить значения на краях отрезка и в критической точке: Подставим значения ( x = \frac{1}{6} ), ( x = \frac{1}{3} ) и ( x = \frac{5}{6} ) в исходную функцию:

   [ y\left(\frac{1}{6}\right) = 3 \cdot \frac{1}{6} - \ln\left(3 \cdot \frac{1}{6}\right) + 3 = \frac{1}{2} - \ln\left(\frac{1}{2}\right) + 3 ]

   [ y\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} - \ln\left(3 \cdot \frac{1}{3}\right) + 3 = 1 - \ln(1) + 3 = 4 ]

   [ y\left(\frac{5}{6}\right) = 3 \cdot \frac{5}{6} - \ln\left(3 \cdot \frac{5}{6}\right) + 3 = \frac{15}{6} - \ln\left(\frac{5}{2}\right) + 3 = \frac{15}{6} - \ln\left(\frac{5}{2}\right) + 3 ]

4. Сравнить вычисленные значения: Чтобы определить наименьшее значение, сравним полученные выражения. Учитывая, что логарифм от числа меньше единицы отрицателен, а логарифм от числа больше единицы положителен, следует:

   • ( y\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2} + \ln(2) + 3 )
   • ( y\left(\frac{1}{3}\right) = 4 )
   • ( y\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{15}{6} - \ln\left(\frac{5}{2}\right) + 3 )

   Поскольку (\ln(2) < 1) и (\ln\left(\frac{5}{2}\right) > 0), необходимо подставить и оценить значения для точного сравнения.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([1/6; 5/6]) нужно уточнить с помощью точных расчетов, но предварительный анализ показывает, что наименьшее значение возможно в одной из краевых точек.