Найдите наибольший член последовательности: An=3+38n-n^2

Чтобы найти наибольший член последовательности ( A_n = 3 + 38n - n^2 ), сначала упростим выражение и найдем его максимум. Данная последовательность представляет собой квадратичную функцию от ( n ).

1. Запишем функцию в стандартной форме

Функция может быть представлена как: [ A_n = -n^2 + 38n + 3 ]

2. Определим коэффициенты

В данной функции:

• ( a = -1 )
• ( b = 38 )
• ( c = 3 )

3. Найдем координаты вершины параболы

Координаты вершины квадратичной функции ( y = ax^2 + bx + c ) можно найти по формуле: [ n_{max} = -\frac{b}{2a} ]

Подставим значения ( a ) и ( b ): [ n_{max} = -\frac{38}{2 \cdot (-1)} = \frac{38}{2} = 19 ]

4. Подставим ( n_{max} ) в выражение для ( A_n )

Теперь найдем значение ( A{19} ): [ A{19} = 3 + 38 \cdot 19 - 19^2 ]

Сначала вычислим ( 38 \cdot 19 ): [ 38 \cdot 19 = 722 ]

Теперь вычислим ( 19^2 ): [ 19^2 = 361 ]

Теперь подставим эти значения в выражение для ( A{19} ): [ A{19} = 3 + 722 - 361 ] [ A_{19} = 3 + 361 = 364 ]

5. Проверка значений для соседних ( n )

Для уверенности, что это действительно максимум, можно проверить значения ( A{18} ) и ( A{20} ):

• Для ( n = 18 ): [ A{18} = 3 + 38 \cdot 18 - 18^2 ] [ A{18} = 3 + 684 - 324 = 363 ]

• Для ( n = 20 ): [ A{20} = 3 + 38 \cdot 20 - 20^2 ] [ A{20} = 3 + 760 - 400 = 363 ]

6. Заключение

Наибольший член последовательности ( A_n = 3 + 38n - n^2 ) равен ( 364 ) и достигается при ( n = 19 ).

Таким образом, ответ: Наибольший член последовательности равен 364.

Давайте найдем наибольший член последовательности, заданной формулой ( A_n = 3 + 38n - n^2 ). Для этого проведем тщательный разбор.

Шаг 1. Определим общий вид последовательности

Последовательность ( A_n ) зависит от переменной ( n ), где ( n ) — натуральное число (( n = 1, 2, 3, \dots )). Формула ( A_n = 3 + 38n - n^2 ) представляет собой квадратичную функцию от ( n ). Графиком этой функции является парабола, которая открывается вниз (так как перед ( n^2 ) стоит отрицательный коэффициент (-1)).

Шаг 2. Найдем вершину параболы

Для квадратичной функции вида ( f(n) = -n^2 + bn + c ), координата вершины по ( n ) находится по формуле: [ n_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a}, ] где ( a ) — коэффициент при ( n^2 ), а ( b ) — коэффициент при ( n ).

В данном случае: [ a = -1, \quad b = 38, \quad c = 3. ]

Подставим значения: [ n_{\text{вершина}} = -\frac{38}{2(-1)} = \frac{38}{2} = 19. ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( n = 19 ).

Шаг 3. Проверим значения для ( n = 19 ) и соседних натуральных чисел

Поскольку ( n ) в последовательности принимает только натуральные значения (( n = 1, 2, 3, \dots )), нам нужно проверить значения ( A_n ) для ( n = 19 ), а также для соседних значений ( n = 18 ) и ( n = 20 ), чтобы убедиться, что ( n = 19 ) действительно дает наибольший член.

Для ( n = 19 ): [ A_{19} = 3 + 38(19) - 19^2 = 3 + 722 - 361 = 364. ]

Для ( n = 18 ): [ A_{18} = 3 + 38(18) - 18^2 = 3 + 684 - 324 = 363. ]

Для ( n = 20 ): [ A_{20} = 3 + 38(20) - 20^2 = 3 + 760 - 400 = 363. ]

Шаг 4. Вывод

Наибольшее значение последовательности ( An ) достигается при ( n = 19 ), и это значение равно: [ A{19} = 364. ]

Таким образом, наибольший член последовательности равен 364 и достигается при ( n = 19 ).