Найдите наибольшее значение функции y 13-13x+ln 13x на отрезке $1/15;1/11$

Чтобы найти наибольшее значение функции $y=13-13x+\ln (13x$ ) на отрезке $[\frac{1}{15},\frac{1}{11}]$, следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции.

   Для нахождения критических точек функции необходимо вычислить её производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю.

   $y=13-13x+\ln (13x)$

   Для упрощения, перепишем логарифмическую часть:

   $\ln (13x)=\ln 13+\ln x$

   Теперь производная:

   $y^{\prime }=-13+\frac{1}{x}$

2. Найдите критические точки.

   Решим уравнение $y^{\prime }=0$:

   $-13+\frac{1}{x}=0⟹\frac{1}{x}=13⟹x=\frac{1}{13}$

   Проверим, находится ли эта точка на заданном отрезке $[\frac{1}{15},\frac{1}{11}]$:

   $\frac{1}{15}\approx 0.0667,\frac{1}{13}\approx 0.0769,\frac{1}{11}\approx 0.0909$

   Поскольку $\frac{1}{13}$ находится между $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{11}$, это критическая точка, которую нужно проверить.

3. Вычислите значения функции в критической точке и на концах отрезка.

   • $x=\frac{1}{15}$:

     $y\left(\frac{1}{15}\right)=13-13\cdot \frac{1}{15}+\ln (13\cdot \frac{1}{15})=13-\frac{13}{15}+\ln \left(\frac{13}{15}\right)$

   • $x=\frac{1}{13}$:

     $y\left(\frac{1}{13}\right)=13-13\cdot \frac{1}{13}+\ln (13\cdot \frac{1}{13})=13-1+\ln (1)=12$

   • $x=\frac{1}{11}$:

     $y\left(\frac{1}{11}\right)=13-13\cdot \frac{1}{11}+\ln (13\cdot \frac{1}{11})=13-\frac{13}{11}+\ln \left(\frac{13}{11}\right)$

4. Сравните значения функции.

   Поскольку $\ln (1$ = 0), значение функции в $x=\frac{1}{13}$ равно 12. Теперь оценим значения в концах отрезка:

   • $\frac{13}{15}\approx 0.8667$, $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ < 0), поэтому:

     $y\left(\frac{1}{15}\right)<12$

   • $\frac{13}{11}\approx 1.1818$, $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ > 0), но:

     $y\left(\frac{1}{11}\right)=13-1.1818+\ln (1.1818)<12$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{15},\frac{1}{11}]$ достигается в $x=\frac{1}{13}$ и равно 12.

Для нахождения наибольшего значения функции y=13-13x+ln$13x$ на отрезке $1/15;1/11$ необходимо найти критические точки, которые могут находиться внутри отрезка или на его концах.

1. Найдем производную функции y'= -13 + 13/$13x$ = -13 + 1/x.
2. Найдем точки, где производная равна нулю: -13 + 1/x = 0 => x = 13.
3. Проверим критическую точку x = 13 и концы отрезка $1/15;1/11$.
4. Вычисляем y$1/15$ = 13 - 13$1/15$ + ln(13$1/15$) ≈ 12.428.
5. Вычисляем y$1/11$ = 13 - 13$1/11$ + ln(13$1/11$) ≈ 12.789.
6. Вычисляем y$13$ = 13 - 1313 + ln(1313) ≈ -148.66.

Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке $1/15;1/11$ равно примерно 12.789 и достигается при x ≈ 0.09091 $1/11$.