Найдите наибольшее значение функции y 13-13x+ln 13x на отрезке [ 1/15 ; 1/11 ]

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = 13 - 13x + \ln(13x) ) на отрезке (\left[\frac{1}{15}, \frac{1}{11}\right]), следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции.

   Для нахождения критических точек функции необходимо вычислить её производную и найти значения ( x ), при которых производная равна нулю.

   [ y = 13 - 13x + \ln(13x) ]

   Для упрощения, перепишем логарифмическую часть:

   [ \ln(13x) = \ln 13 + \ln x ]

   Теперь производная:

   [ y' = -13 + \frac{1}{x} ]

2. Найдите критические точки.

   Решим уравнение ( y' = 0 ):

   [ -13 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = 13 \implies x = \frac{1}{13} ]

   Проверим, находится ли эта точка на заданном отрезке (\left[\frac{1}{15}, \frac{1}{11}\right]):

   [ \frac{1}{15} \approx 0.0667, \quad \frac{1}{13} \approx 0.0769, \quad \frac{1}{11} \approx 0.0909 ]

   Поскольку (\frac{1}{13}) находится между (\frac{1}{15}) и (\frac{1}{11}), это критическая точка, которую нужно проверить.

3. Вычислите значения функции в критической точке и на концах отрезка.

   • ( x = \frac{1}{15} ):

     [ y\left(\frac{1}{15}\right) = 13 - 13 \cdot \frac{1}{15} + \ln\left(13 \cdot \frac{1}{15}\right) = 13 - \frac{13}{15} + \ln\left(\frac{13}{15}\right) ]

   • ( x = \frac{1}{13} ):

     [ y\left(\frac{1}{13}\right) = 13 - 13 \cdot \frac{1}{13} + \ln\left(13 \cdot \frac{1}{13}\right) = 13 - 1 + \ln(1) = 12 ]

   • ( x = \frac{1}{11} ):

     [ y\left(\frac{1}{11}\right) = 13 - 13 \cdot \frac{1}{11} + \ln\left(13 \cdot \frac{1}{11}\right) = 13 - \frac{13}{11} + \ln\left(\frac{13}{11}\right) ]

4. Сравните значения функции.

   Поскольку (\ln(1) = 0), значение функции в ( x = \frac{1}{13} ) равно 12. Теперь оценим значения в концах отрезка:

   • (\frac{13}{15} \approx 0.8667), (\ln\left(\frac{13}{15}\right) < 0), поэтому:

     [ y\left(\frac{1}{15}\right) < 12 ]

   • (\frac{13}{11} \approx 1.1818), (\ln\left(\frac{13}{11}\right) > 0), но:

     [ y\left(\frac{1}{11}\right) = 13 - 1.1818 + \ln(1.1818) < 12 ]

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке (\left[\frac{1}{15}, \frac{1}{11}\right]) достигается в ( x = \frac{1}{13} ) и равно 12.

Для нахождения наибольшего значения функции y=13-13x+ln(13x) на отрезке [1/15; 1/11] необходимо найти критические точки, которые могут находиться внутри отрезка или на его концах.

1. Найдем производную функции y'= -13 + 13/(13x) = -13 + 1/x.
2. Найдем точки, где производная равна нулю: -13 + 1/x = 0 => x = 13.
3. Проверим критическую точку x = 13 и концы отрезка [1/15; 1/11].
4. Вычисляем y(1/15) = 13 - 13(1/15) + ln(13(1/15)) ≈ 12.428.
5. Вычисляем y(1/11) = 13 - 13(1/11) + ln(13(1/11)) ≈ 12.789.
6. Вычисляем y(13) = 13 - 1313 + ln(1313) ≈ -148.66.

Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке [1/15; 1/11] равно примерно 12.789 и достигается при x ≈ 0.09091 (1/11).