Найдите наибольшее значение функции : у=корень квадратный из 168 - 22 х - х во 2 степени

Наибольшее значение функции у равно 8.

Для нахождения наибольшего значения функции у = √168 - 22x - x^2, нужно найти вершину параболы, которая описывает эту функцию.

Сначала преобразуем данное уравнение к виду y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.

Учитывая, что √168 = √(4*42) = 2√42, получим:

y = 2√42 - 22x - x^2 y = -x^2 - 22x + 2√42

Теперь преобразуем уравнение к виду (x - h)^2 = 4p(y - k), где (h, k) - координаты вершины параболы, а p - фокусное расстояние.

Учитывая, что a = -1, h = -b/2a = -(-22) / 2(-1) = -11, k = c - b^2/4a = 2√42 - (-22)^2 / 4(-1) = 2√42 - 121, а также p = -k, получим:

(x + 11)^2 = 4*(-2√42 + 121)(y - (2√42 - 121))

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции у = √168 - 22x - x^2, нужно найти вершину параболы, которая равна (h, -p) или (-11, 2√42 - 121).

Таким образом, наибольшее значение функции у = √168 - 22x - x^2 равно 2√42 - 121.

Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = \sqrt{168 - 22x - x^2} ), нужно сначала определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем будет максимальным, так как квадратный корень является возрастающей функцией.

1. Найдите область определения функции.

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: [ 168 - 22x - x^2 \geq 0. ] Это квадратное неравенство. Представим его как квадратный трехчлен: [ -x^2 - 22x + 168 = 0. ]

2. Решите квадратное уравнение.

   Найдем корни уравнения ( -x^2 - 22x + 168 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 168 = 484 + 672 = 1156. ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{1156}}{-2}. ] [ \sqrt{1156} = 34. ] [ x_1 = \frac{22 + 34}{-2} = -28, \quad x_2 = \frac{22 - 34}{-2} = 6. ]

3. Определите интервал, на котором функция определена.

   Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то: [ -28 \leq x \leq 6. ]

4. Максимальное значение подкоренного выражения.

   Поскольку парабола ( y = -x^2 - 22x + 168 ) направлена ветвями вниз (коэффициент при ( x^2 ) отрицательный), ее вершина будет точкой максимума. Найдем вершину параболы: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-22}{2 \cdot (-1)} = -11. ]

5. Найдите значение функции в вершине.

   Подставим ( x_v = -11 ) в выражение под корнем: [ y = \sqrt{168 - 22 \cdot (-11) - (-11)^2}. ] [ y = \sqrt{168 + 242 - 121}. ] [ y = \sqrt{289}. ] [ y = 17. ]

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = \sqrt{168 - 22x - x^2} ) равно 17 и достигается при ( x = -11 ).