Найдите наибольшее и наименьшее значение на отрезке f(x)=2x^4-8x, [-2 1]

Наибольшее значение на отрезке [-2, 1] функции f(x)=2x^4-8x равно 4, наименьшее значение равно -10.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) = 2x^4 - 8x ) на отрезке ([-2, 1]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции на отрезке:

   Сначала найдём производную функции ( f(x) ):

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 8x) = 8x^3 - 8 ]

   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   [ 8x^3 - 8 = 0 ]

   [ 8(x^3 - 1) = 0 ]

   [ x^3 - 1 = 0 ]

   [ x^3 = 1 ]

   [ x = 1 ]

   Таким образом, ( x = 1 ) является критической точкой на отрезке ([-2, 1]).

2. Проверить значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   Вычислим значение функции в концах отрезка:

   [ f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48 ]

   [ f(1) = 2(1)^4 - 8(1) = 2 \cdot 1 - 8 = 2 - 8 = -6 ]

   Так как ( x = 1 ) также является концом отрезка, произведём вычисление только для другой критической точки, но в данном случае это не требуется, так как ( x = 1 ) уже учтено как конец отрезка.

3. Определить наибольшее и наименьшее значения:

   Из расчетов следует:

   • ( f(-2) = 48 )
   • ( f(1) = -6 )

   Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке ([-2, 1]) равно 48, а наименьшее значение равно -6.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 2x^4 - 8x на отрезке [-2, 1] следует применить метод нахождения экстремумов функции.

1. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = 8x^3 - 8

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 8x^3 - 8 = 0 8(x^3 - 1) = 0 x^3 = 1 x = 1

Таким образом, критическая точка функции f(x) на отрезке [-2, 1] равна х = 1.

1. Теперь найдем значения функции в конечных точках отрезка и в найденной критической точке: f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 216 + 16 = 32 f(1) = 21^4 - 81 = 2 - 8 = -6 f(1) = 21^4 - 8*1 = 2 - 8 = -6

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2, 1] равно 32, а наименьшее значение равно -6.