Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=sinx на отрезке [п/4; 5п/4]

Функция y = sinx принимает значения от -1 до 1. На отрезке [π/4; 5π/4] значения sinx меняются от sin(π/4) = 1/√2 до sin(5π/4) = -1. Таким образом, наибольшее значение функции sinx на данном отрезке равно 1, а наименьшее значение равно -1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( y = \sin x ) на заданном отрезке ([ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} ]), нужно рассмотреть значения функции в концах отрезка и найти критические точки внутри отрезка, если таковые имеются.

1. Значения функции в концах отрезка:

   • В точке ( x = \frac{\pi}{4} ): [ y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   • В точке ( x = \frac{5\pi}{4} ): [ y = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Поиск критических точек внутри отрезка:

   Критические точки функции ( y = \sin x ) находятся там, где производная этой функции равна нулю. Производная функции ( y = \sin x ) равна ( y' = \cos x ).

   [ \cos x = 0 ]

   [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Нам нужно найти такие значения ( x ), которые лежат в отрезке ([ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} ]). Единственное значение, удовлетворяющее этому условию, это ( x = \frac{\pi}{2} ).

   • В точке ( x = \frac{\pi}{2} ): [ y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 ]

3. Сравнение значений функции:

   Теперь у нас есть три точки, в которых мы знаем значения функции:

   • ( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 )
   • ( y\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 )
   • ( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 )

   Из этих значений видно, что:

   • Наибольшее значение функции ( y = \sin x ) на отрезке ([ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} ]) равно 1.
   • Наименьшее значение функции ( y = \sin x ) на отрезке ([ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} ]) равно (-\frac{\sqrt{2}}{2}).

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = \sin x ) на отрезке ([ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} ]) равно 1, а наименьшее значение равно (-\frac{\sqrt{2}}{2}).