Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=3/2*x^(2/3) - 1/3*x^3 на отрезке [0;8].

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( y = \frac{3}{2}x^{2/3} - \frac{1}{3}x^3 ) на отрезке ([0, 8]), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   Для начала найдем первую производную функции ( y ) по ( x ): [ y = \frac{3}{2}x^{2/3} - \frac{1}{3}x^3 ] Производная каждого слагаемого:

   • Производная от ( \frac{3}{2}x^{2/3} ) равна: [ \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{2}x^{2/3}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = x^{-1/3} ]
   • Производная от ( -\frac{1}{3}x^3 ) равна: [ \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{3}x^3\right) = -x^2 ]

   Таким образом, производная функции: [ y' = x^{-1/3} - x^2 ]

2. Найти критические точки:

   Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует: [ x^{-1/3} - x^2 = 0 ] Переносим одно из слагаемых: [ x^{-1/3} = x^2 ] Умножим обе части на ( x^{1/3} ): [ 1 = x^{7/3} ] Отсюда: [ x = 1 ]

   Также проверяем точки, где производная не существует. Производная не существует при ( x = 0 ), но это граница нашего отрезка.

3. Вычислить значения функции на границах отрезка и в критической точке:

   • ( y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{2/3} - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = 0 )
   • ( y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{2/3} - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} )

   • ( y(8) = \frac{3}{2} \cdot 8^{2/3} - \frac{1}{3} \cdot 8^3 )

     Найдем ( 8^{2/3} ): [ 8^{1/3} = 2 \quad \Rightarrow \quad 8^{2/3} = 2^2 = 4 ] Тогда: [ y(8) = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot 512 = 6 - \frac{512}{3} = 6 - 170.67 = -164.67 ]

4. Сравнить найденные значения:

   • ( y(0) = 0 )
   • ( y(1) = \frac{7}{6} \approx 1.17 )
   • ( y(8) \approx -164.67 )

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([0, 8]) равно (\frac{7}{6}), а наименьшее значение равно (-164.67).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=3/2x^(2/3) - 1/3x^3 на отрезке [0;8] необходимо найти критические точки функции внутри этого интервала и также учитывать значения функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y=3/2x^(2/3) - 1/3x^3: y' = (3/2)(2/3)x^(-1/3) - x^2 y' = x^(-1/3) - x^2

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: x^(-1/3) - x^2 = 0 1 - x^(7/3) = 0 x^(7/3) = 1 x = 1

3. Подставим найденные критические точки и концы отрезка в функцию y=3/2x^(2/3) - 1/3x^3 и найдем значения: y(0) = -0.33 y(1) = 0 y(8) = -21.33

Итак, наименьшее значение функции на отрезке [0;8] равно -21.33 (в точке x=8), а наибольшее значение равно 0 (в точке x=1).