Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3 на отрезке (-2;1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=x^3 на отрезке (-2;1) необходимо найти значения функции в точках, где производная функции равна нулю, а также на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y=x^3: y' = 3x^2

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 = 0 x = 0

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: y(-2) = (-2)^3 = -8 y(0) = 0 y(1) = 1

Таким образом, наибольшее значение функции y=x^3 на отрезке (-2;1) равно 1, а наименьшее значение равно -8.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( y = x^3 ) на отрезке ((-2, 1)), необходимо проанализировать поведение функции на этом интервале.

1. Проверка критических точек:

   Для начала найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2. ] Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Поскольку ( 3x^2 ) всегда определена, мы решаем уравнение: [ 3x^2 = 0. ] Это уравнение имеет одно решение: [ x = 0. ] Проверим, принадлежит ли эта точка данному отрезку. Да, ( x = 0 ) принадлежит отрезку ((-2, 1)).

2. Проверка значений функции на концах отрезка и в критических точках:

   • Значение функции в критической точке: [ y(0) = 0^3 = 0. ]

   • Значение функции на левой границе отрезка (в пределе, так как (-2) не включено): [ \lim_{x \to -2^+} y(x) = (-2)^3 = -8. ]

   • Значение функции на правой границе отрезка (в пределе, так как (1) не включено): [ \lim_{x \to 1^-} y(x) = 1^3 = 1. ]

3. Сравнение значений:

   Теперь сравним значения функции:

   • (-8) на левой границе (в пределе),
   • (0) в критической точке (x = 0),
   • (1) на правой границе (в пределе).

   Наибольшее значение функции на отрезке ((-2, 1)) равно (1), а наименьшее значение равно (-8).

Таким образом, наибольшее значение функции ( y = x^3 ) на отрезке ((-2, 1)) равно (1), а наименьшее — (-8).

Наибольшее значение функции y=x^3 на отрезке (-2;1) равно 1, наименьшее значение равно -8.