Найдите корни уравнения sin пx/4 = корень из 2/2 ответе запишите наибольший отрицательный корень

Рассмотрим уравнение:

[ \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Для поиска корней этого уравнения, сначала вспомним значения углов, при которых синус принимает значение (\frac{\sqrt{2}}{2}). Так как (\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}), то (\theta) может быть равен ( \frac{\pi}{4} + 2k\pi ) или ( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

Теперь выразим (\theta) через ( x ):

[ \frac{\pi x}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

и

[ \frac{\pi x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

Рассмотрим первое уравнение:

[ \frac{\pi x}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

Разделим обе части на (\pi):

[ \frac{x}{4} = \frac{1}{4} + 2k ]

Умножим обе части на 4:

[ x = 1 + 8k ]

Аналогично, рассмотрим второе уравнение:

[ \frac{\pi x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

Разделим обе части на (\pi):

[ \frac{x}{4} = \frac{3}{4} + 2k ]

Умножим обе части на 4:

[ x = 3 + 8k ]

Таким образом, общие решения уравнения (\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}) будут следующими:

[ x = 1 + 8k ]

и

[ x = 3 + 8k ]

где ( k ) — целое число.

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нужно подставить такие значения ( k ), чтобы результат был отрицательным.

Для первого выражения ( x = 1 + 8k ):

Пусть ( k = -1 ):

[ x = 1 + 8(-1) = 1 - 8 = -7 ]

Для второго выражения ( x = 3 + 8k ):

Пусть ( k = -1 ):

[ x = 3 + 8(-1) = 3 - 8 = -5 ]

Сравнив ( -7 ) и ( -5 ), наибольшим отрицательным корнем будет ( -5 ).

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения (\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}) равен:

[ x = -5 ]

Данное уравнение можно решить, преобразовав его следующим образом:

sin (πx/4) = √2/2

Так как sin(π/4) = √2/2, уравнение можно записать как:

πx/4 = π/4 + 2πk, где k - целое число

Тогда x = 1 + 8k

Находим наибольший отрицательный корень:

x = 1 + 8(-1) = 1 - 8 = -7

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения sin(πx/4) = √2/2 равен -7.