Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [-π;π). Уравнение уже решено: КАК НАЙТИ КОРНИ ИМЕННО...

Для нахождения корней уравнения ( \cos(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ) в промежутке ([-π; π)), нужно решить уравнение, полученное на предыдущем этапе, с учетом ограничения на (x).

1. Из уравнения (4x = \pm \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n) получаем: [ 4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 4x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n ] Это дает решения: [ 4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} n ] [ 4x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n ]

2. Подставляя (n = -1, 0, 1) в оба выражения, находим:

   • Для (x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} n):

     • (n = -1: x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{8})
     • (n = 0: x = \frac{\pi}{8})
     • (n = 1: x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8})

   • Для (x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n):

     • (n = -1: x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4})
     • (n = 0: x = -\frac{\pi}{4})
     • (n = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4})

3. Теперь собираем все корни и отбираем те, которые в промежутке ([-π; π)):

   • (x = -\frac{3\pi}{4})
   • (x = -\frac{3\pi}{8})
   • (x = -\frac{\pi}{4})
   • (x = \frac{\pi}{8})
   • (x = \frac{\pi}{4})
   • (x = \frac{5\pi}{8})

Итак, корни уравнения в заданном промежутке: [ x = -\frac{3\pi}{4}, -\frac{3\pi}{8}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{8} ]

Давайте детально разберем, как находить корни уравнения ( \cos(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ) и определить, какие из них принадлежат промежутку ([-π; π)).

Шаг 1: Определение углов для косинуса

Сначала вспомним, что ( \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ) в двух случаях:

1. ( \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n )
2. ( \theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n )

где ( n \in \mathbb{Z} ).

Шаг 2: Подстановка в уравнение

Теперь подставим ( \theta = 4x + \frac{\pi}{4} ) в полученные углы:

1. ( 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n )
2. ( 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n )

Шаг 3: Решение для каждого случая

Первый случай:

1. Решаем уравнение: [ 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n ] Выразим ( 4x ): [ 4x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n ] [ 4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n ] [ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n ] Разделим на 4: [ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} ]

Второй случай:

1. Решаем уравнение: [ 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n ] Выразим ( 4x ): [ 4x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n ] [ 4x = \frac{4\pi}{4} + 2\pi n ] [ 4x = \pi + 2\pi n ] Разделим на 4: [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} ]

Шаг 4: Нахождение корней в промежутке ([-π; π))

Теперь нужно определить, для каких значений ( n ) корни ( x ) находятся в заданном промежутке.

Для первого случая:

[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} ]

• Для ( n = -1 ): [ x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 0 ): [ x = \frac{\pi}{8} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 1 ): [ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 2 ): [ x = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{\pi}{8} + \frac{8\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) ]

Для второго случая:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} ]

• Для ( n = -1 ): [ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 0 ): [ x = \frac{\pi}{4} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 1 ): [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{принадлежит промежутку}) ]
• Для ( n = 2 ): [ x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) ]

Корни уравнения

Таким образом, корни уравнения ( \cos(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ), которые принадлежат промежутку ([-π; π)):

1. ( -\frac{3\pi}{8} )
2. ( \frac{\pi}{8} )
3. ( \frac{5\pi}{8} )
4. ( -\frac{\pi}{4} )
5. ( \frac{\pi}{4} )
6. ( \frac{3\pi}{4} )

Эти значения ( x ) удовлетворяют исходному уравнению и находятся в заданном промежутке.

Чтобы найти корни уравнения (\cos(4x + \pi/4) = -\sqrt{2}/2), принадлежащие промежутку ([-\pi; \pi)), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общее решение уравнения

Уравнение (\cos(4x + \pi/4) = -\sqrt{2}/2) решается с использованием основного свойства косинуса:

[ \cos(y) = -\sqrt{2}/2 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Подставляем (y = 4x + \pi/4), получаем:

[ 4x + \pi/4 = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Упростим правую часть:

[ 4x + \pi/4 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

Теперь выразим (4x):

[ 4x = \pm \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n. ]

Считаем отдельно для (+) и (-):

[ 4x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, ] [ 4x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n. ]

Делим обе стороны на 4, чтобы выразить (x):

[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n, \, n \in \mathbb{Z}, ] [ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n, \, n \in \mathbb{Z}. ]

2. Ограничение на корни: (x \in [-\pi; \pi))

Теперь мы должны отобрать только те корни, которые лежат в промежутке ([-\pi; \pi)). Рассмотрим каждую из формул для (x) по отдельности.

Формула 1: (x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n)

Для (n \in \mathbb{Z}), (x) должен удовлетворять (-\pi \leq x < \pi). Проверяем:

[ -\pi \leq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n < \pi. ]

Вычтем (\frac{\pi}{8}) из всех частей неравенства:

[ -\pi - \frac{\pi}{8} \leq \frac{\pi}{2}n < \pi - \frac{\pi}{8}. ]

Посчитаем границы:

[ -\pi - \frac{\pi}{8} = -\frac{8\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = -\frac{9\pi}{8}, ] [ \pi - \frac{\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}. ]

Итак, неравенство стало:

[ -\frac{9\pi}{8} \leq \frac{\pi}{2}n < \frac{7\pi}{8}. ]

Умножим всё на (\frac{2}{\pi}), чтобы изолировать (n):

[ -\frac{9\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi} \leq n < \frac{7\pi}{8} \cdot \frac{2}{\pi}. ]

Сокращаем (\pi):

[ -\frac{18}{8} \leq n < \frac{14}{8}. ]

Упрощаем дроби:

[ -2.25 \leq n < 1.75. ]

Поскольку (n) — целое число, возможные значения: (n = -2, -1, 0, 1).

Теперь подставляем каждое (n) в формулу (x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n) и проверяем, лежит ли (x \in [-\pi; \pi)):

• Для (n = -2): (x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}(-2) = \frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}), подходит.
• Для (n = -1): (x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}(-1) = \frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}), подходит. и т.д.