Найдите корни уравнения: 5x+2/x-2 - x+40/x=0 2x-1/x+3 - x+1/3x-1

Для того чтобы найти корни уравнения, сначала разберем каждое из уравнений по отдельности.

Уравнение 1:

[ \frac{5x + 2}{x - 2} - \frac{x + 40}{x} = 0 ]

Чтобы решить это уравнение, сначала приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (\frac{5x + 2}{x - 2}) и (\frac{x + 40}{x}) будет (x(x - 2)).

1. Перепишем каждую дробь с общим знаменателем: [ \frac{(5x + 2)x - (x + 40)(x - 2)}{x(x - 2)} = 0 ]

2. Упрощаем числитель: [ (5x^2 + 2x) - (x^2 + 40x - 2x - 80) = 5x^2 + 2x - x^2 - 38x + 80 = 4x^2 - 36x + 80 ]

3. Наше уравнение теперь выглядит так: [ \frac{4x^2 - 36x + 80}{x(x - 2)} = 0 ]

4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (при этом знаменатель не должен быть равен нулю): [ 4x^2 - 36x + 80 = 0 ]

5. Решаем квадратное уравнение: [ 4x^2 - 36x + 80 = 0 ] Сначала упростим его, разделив на 4: [ x^2 - 9x + 20 = 0 ]

6. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 ]

7. Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 1}{2} ] [ x_1 = \frac{10}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{8}{2} = 4 ]

Теперь нужно проверить, чтобы корни не обращали знаменатель в ноль. Для (x = 5) и (x = 4) знаменатели (x(x - 2)) не равны нулю.

Уравнение 2:

[ \frac{2x - 1}{x + 3} - \frac{x + 1}{3x - 1} = 0 ]

1. Приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель будет ((x + 3)(3x - 1)).

2. Перепишем дроби с общим знаменателем: [ \frac{(2x - 1)(3x - 1) - (x + 1)(x + 3)}{(x + 3)(3x - 1)} = 0 ]

3. Упрощаем числитель: [ (2x - 1)(3x - 1) = 6x^2 - 2x - 3x + 1 = 6x^2 - 5x + 1 ] [ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3 ] [ 6x^2 - 5x + 1 - (x^2 + 4x + 3) = 6x^2 - 5x + 1 - x^2 - 4x - 3 = 5x^2 - 9x - 2 ]

4. Уравнение теперь выглядит так: [ \frac{5x^2 - 9x - 2}{(x + 3)(3x - 1)} = 0 ]

5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: [ 5x^2 - 9x - 2 = 0 ]

6. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 ]

7. Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 11}{10} ] [ x_1 = \frac{20}{10} = 2 ] [ x_2 = \frac{-2}{10} = -0.2 ]

Теперь нужно проверить, чтобы корни не обращали знаменатель в ноль. Для (x = 2) и (x = -0.2) знаменатели ((x + 3)(3x - 1)) не равны нулю.

Ответ:

Корни уравнений:

1. Корни уравнения (\frac{5x + 2}{x - 2} - \frac{x + 40}{x} = 0) равны (x = 5) и (x = 4).
2. Корни уравнения (\frac{2x - 1}{x + 3} - \frac{x + 1}{3x - 1} = 0) равны (x = 2) и (x = -0.2).

Для нахождения корней уравнения сначала упростим его.

1) Рассмотрим уравнение 5x + 2/(x - 2) - x + 40/x = 0: Умножим каждый член уравнения на x(x - 2), чтобы избавиться от знаменателей: 5x^2(x - 2) + 2x + 40(x - 2) - x^2 = 0 5x^3 - 10x^2 + 2x + 40x - 80 - x^2 = 0 5x^3 - 11x^2 + 42x - 80 = 0

2) Рассмотрим уравнение 2x - 1/(x + 3) - x + 1/(3x - 1): Умножим каждый член уравнения на (x + 3)(3x - 1), чтобы избавиться от знаменателей: 2x(x + 3)(3x - 1) - (3x - 1) + x(3x - 1) = 0 2x(3x^2 - x + 9x - 3) - 3x + 1 + 3x^2 - x = 0 6x^3 - 2x^2 + 18x - 6 - 3x + 1 + 3x^2 - x = 0 6x^3 + x^2 + 14x - 5 = 0

Теперь решим полученные уравнения для нахождения корней.

Первое уравнение: x = -4, x = 2 Второе уравнение: x = -1/2, x = 1/2, x = 1