Найдите корень уравнения: cos п(x+5)/3=-1/2. В ответе запишите наименьший положительный корень.

x = 30°

Для того чтобы найти корень уравнения cos(п(x+5)/3)=-1/2, сначала найдем обратный косинус от -1/2. Обратный косинус от -1/2 равен 2п/3.

Таким образом, уравнение примет вид: п(x+5)/3 = 2п/3

Далее упростим уравнение, умножив обе части на 3/п:

x+5 = 2

x = -3

Наименьший положительный корень уравнения x = -3.

Для решения уравнения (\cos\left(\frac{\pi(x+5)}{3}\right) = -\frac{1}{2}) воспользуемся основными свойствами косинуса. Косинус принимает значение (-\frac{1}{2}) в следующих точках на единичной окружности: (\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) и (\frac{4\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.

Запишем наше уравнение в виде:

[ \frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ]

или

[ \frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ]

Рассмотрим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. (\frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi)

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

[ \pi(x+5) = 2\pi + 6k\pi ]

Разделим обе части на (\pi):

[ x+5 = 2 + 6k ]

[ x = 2 + 6k - 5 ]

[ x = 6k - 3 ]

1. (\frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi)

Умножим обе части на 3:

[ \pi(x+5) = 4\pi + 6k\pi ]

Разделим обе части на (\pi):

[ x+5 = 4 + 6k ]

[ x = 4 + 6k - 5 ]

[ x = 6k - 1 ]

Теперь нам нужно найти наименьший положительный корень из этих двух решений.

Для первого решения (x = 6k - 3), положительное значение получится при (k = 1):

[ x = 6 \times 1 - 3 = 3 ]

Для второго решения (x = 6k - 1), положительное значение получится при (k = 1):

[ x = 6 \times 1 - 1 = 5 ]

Таким образом, из двух решений ((x=3)) и ((x=5)), наименьший положительный корень — это (x = 3).

Ответ: (x = 3).