Найдите корень уравнения 2x-1\x+7=3x+4\x-1

Давайте решим уравнение:

[ 2x - \frac{1}{x+7} = 3x + \frac{4}{x-1}. ]

Шаг 1. Приведём всё к общему знаменателю.

Здесь переменные ( x+7 ) и ( x-1 ) находятся в знаменателях, так что для упрощения мы сначала уберём дроби, умножив всю запись на общий знаменатель, который равен ( (x+7)(x-1) ).

Умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель:

[ (x+7)(x-1) \cdot \left( 2x \right) - (x+7)(x-1) \cdot \frac{1}{x+7} = (x+7)(x-1) \cdot \left( 3x \right) + (x+7)(x-1) \cdot \frac{4}{x-1}. ]

Упростим каждое слагаемое:

1. ( (x+7)(x-1) \cdot 2x = 2x(x+7)(x-1) );
2. ( (x+7)(x-1) \cdot \frac{1}{x+7} = (x-1) );
3. ( (x+7)(x-1) \cdot 3x = 3x(x+7)(x-1) );
4. ( (x+7)(x-1) \cdot \frac{4}{x-1} = 4(x+7) ).

Подставим всё в уравнение:

[ 2x(x+7)(x-1) - (x-1) = 3x(x+7)(x-1) + 4(x+7). ]

Шаг 2. Раскроем скобки.

Начнём раскрывать скобки и упрощать.

Левая часть:

[ 2x(x+7)(x-1) - (x-1). ] Раскроем ( (x+7)(x-1) = x^2 + 7x - x - 7 = x^2 + 6x - 7 ), затем умножим на ( 2x ): [ 2x(x^2 + 6x - 7) = 2x^3 + 12x^2 - 14x. ] А для второго слагаемого: [ -(x-1) = -x + 1. ] Итак, левая часть становится: [ 2x^3 + 12x^2 - 14x - x + 1 = 2x^3 + 12x^2 - 15x + 1. ]

Правая часть:

[ 3x(x+7)(x-1) + 4(x+7). ] Снова раскроем ( (x+7)(x-1) = x^2 + 6x - 7 ), затем умножим на ( 3x ): [ 3x(x^2 + 6x - 7) = 3x^3 + 18x^2 - 21x. ] А для второго слагаемого: [ 4(x+7) = 4x + 28. ] Итак, правая часть становится: [ 3x^3 + 18x^2 - 21x + 4x + 28 = 3x^3 + 18x^2 - 17x + 28. ]

Шаг 3. Приведём всё к одному виду.

Теперь уравнение имеет вид: [ 2x^3 + 12x^2 - 15x + 1 = 3x^3 + 18x^2 - 17x + 28. ] Перенесём всё из правой части в левую, чтобы получить 0 справа: [ 2x^3 + 12x^2 - 15x + 1 - 3x^3 - 18x^2 + 17x - 28 = 0. ] Сгруппируем похожие члены: [ (2x^3 - 3x^3) + (12x^2 - 18x^2) + (-15x + 17x) + (1 - 28) = 0. ] [ -x^3 - 6x^2 + 2x - 27 = 0. ]

Шаг 4. Найдём корни.

Получили кубическое уравнение: [ -x^3 - 6x^2 + 2x - 27 = 0. ] Умножим всё на ( -1 ), чтобы избавиться от минуса: [ x^3 + 6x^2 - 2x + 27 = 0. ]

Решить это уравнение можно методом подбора или с помощью теоремы Виета. Попробуем сначала подобрать целый корень. Проверим ( x = -3 ): [ (-3)^3 + 6(-3)^2 - 2(-3) + 27 = -27 + 54 + 6 + 27 = 60 ≠ 0

Для решения уравнения ( \frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1} ) начнем с применения свойства пропорций: произведение крайних членов равно произведению средних. Это означает, что мы можем переписать уравнение следующим образом:

[ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) ]

Теперь раскроем скобки с обеих сторон:

Слева: [ 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 ]

Справа: [ 3x^2 + 21x + 4x + 28 = 3x^2 + 25x + 28 ]

Теперь у нас есть:

[ 2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28 ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить 0 с правой стороны:

[ 2x^2 - 3x + 1 - 3x^2 - 25x - 28 = 0 ]

Объединим подобные члены:

[ -1x^2 - 28x - 27 = 0 ]

Умножим уравнение на -1 для упрощения:

[ x^2 + 28x + 27 = 0 ]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 - 108 = 676 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-28 \pm 26}{2} ]

Теперь вычислим два возможных значения ( x ):

1. Первый корень: [ x_1 = \frac{-28 + 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]

2. Второй корень: [ x_2 = \frac{-28 - 26}{2} = \frac{-54}{2} = -27 ]

Теперь у нас есть два корня: ( x_1 = -1 ) и ( x_2 = -27 ).

Однако, необходимо проверить, не является ли какой-либо из этих корней корнем, при котором дроби в исходном уравнении не определены. Проверим знаменатели:

1. Для ( x = -1 ): [ x + 7 = -1 + 7 = 6 \quad (не равен 0) ] [ x - 1 = -1 - 1 = -2 \quad (не равен 0) ]

2. Для ( x = -27 ): [ x + 7 = -27 + 7 = -20 \quad (не равен 0) ] [ x - 1 = -27 - 1 = -28 \quad (не равен 0) ]

Оба значения допустимы. Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = -1, \quad x_2 = -27 ]

Для решения уравнения ( \frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1} ) нужно перемножить крест-накрест:

[ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) ]

Раскроем скобки:

[ 2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28 ]

Упрощаем:

[ 2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 0 = 3x^2 + 25x + 28 - 2x^2 + 3x - 1 ]

Собираем подобные:

[ 0 = x^2 + 28x + 27 ]

Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

[ D = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 - 108 = 676 ]

Корни:

[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-28 \pm 26}{2} ]

Находим корни:

1. ( x_1 = \frac{-2}{2} = -1 )
2. ( x_2 = \frac{-54}{2} = -27 )

Ответ: ( x_1 = -1 ) и ( x_2 = -27 ).