Найдите f ' (x) и f '(0) ,если, f(x)= x tg x,x0=П/4 СРОЧНООО,ПОМОГИТЕ!
Найдите f ' (x) и f '(0) ,если, f(x)= x tg x,x0=П/4 СРОЧНООО,ПОМОГИТЕ!
f'(x) = tg(x) + x * (1 + tg^2(x))
f'(0) = tg(0) + 0 * (1 + tg^2(0)) = 0
Для начала найдем производную функции ( f(x) = x \tan(x) ). Для этого применим правило дифференцирования произведения двух функций. Пусть ( u(x) = x ) и ( v(x) = \tan(x) ). Тогда:
[ f(x) = u(x) \cdot v(x) ]
Производная произведения двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) равна:
[ (uv)' = u'v + uv' ]
Теперь найдём производные ( u(x) ) и ( v(x) ):
[ u(x) = x \implies u'(x) = 1 ]
[ v(x) = \tan(x) \implies v'(x) = \sec^2(x) ]
Подставляем ( u(x) ), ( u'(x) ), ( v(x) ) и ( v'(x) ) в формулу для производной произведения:
[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ] [ f'(x) = 1 \cdot \tan(x) + x \cdot \sec^2(x) ] [ f'(x) = \tan(x) + x \sec^2(x) ]
Теперь найдем ( f'(x) ) при ( x = 0 ):
[ f'(0) = \tan(0) + 0 \cdot \sec^2(0) ] [ \tan(0) = 0 ] [ \sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = 1 ] [ \sec^2(0) = 1 ]
Следовательно:
[ f'(0) = 0 + 0 \cdot 1 = 0 ]
Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна:
[ f'(x) = \tan(x) + x \sec^2(x) ]
И ( f'(0) = 0 ).
Ответ: [ f'(x) = \tan(x) + x \sec^2(x) ] [ f'(0) = 0 ]
Для нахождения производной функции f(x) = x * tg(x) используем правило дифференцирования произведения:
f'(x) = (x)' tg(x) + x (tg(x))'
f'(x) = 1 tg(x) + x (sec^2(x))
f'(x) = tg(x) + x * sec^2(x)
Теперь найдем значение производной в точке x = π/4:
f'(π/4) = tg(π/4) + π/4 * sec^2(π/4)
Так как tg(π/4) = 1 и sec^2(π/4) = 2, то
f'(π/4) = 1 + π/4 * 2 f'(π/4) = 1 + π/2
Таким образом, f'(x) = tg(x) + x * sec^2(x) и f'(π/4) = 1 + π/2.
