Найдите два положительных числа, сумма которых равна 26, а произведение наибольшее

Пусть x и y - два положительных числа. Тогда у нас есть система уравнений: x + y = 26 xy = максимум Из первого уравнения выразим x через y: x = 26 - y Теперь подставим это значение x во второе уравнение: (26 - y)y = -y^2 + 26y Это квадратное уравнение, и чтобы найти максимум произведения, найдем вершину параболы. Вершина параболы находится по формуле x = -b / (2a), где у нас a = -1, b = 26 y = -26 / (2*(-1)) = 13 Таким образом, два числа, сумма которых равна 26, а произведение наибольшее, равны 13 и 13.

Чтобы найти два положительных числа, сумма которых равна 26, а произведение наибольшее, можно воспользоваться методами алгебры и элементарного анализа.

Обозначим эти два числа как ( x ) и ( y ). У нас есть два условия:

1. Сумма чисел: ( x + y = 26 )
2. Необходимо максимизировать произведение: ( P = x \cdot y )

Сначала выразим одно из чисел через другое с использованием первого условия. Пусть ( y = 26 - x ). Тогда произведение ( P ) можно переписать как функцию одного переменного: [ P = x \cdot (26 - x) ] [ P = 26x - x^2 ]

Теперь нам нужно найти значение ( x ), при котором функция ( P ) достигает своего максимума. Это стандартная задача на нахождение экстремума функции. Для этого найдем производную функции ( P ) по ( x ): [ \frac{dP}{dx} = 26 - 2x ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку: [ 26 - 2x = 0 ] [ 2x = 26 ] [ x = 13 ]

Теперь найдем соответствующее значение ( y ): [ y = 26 - x ] [ y = 26 - 13 ] [ y = 13 ]

Таким образом, оба числа равны ( x = 13 ) и ( y = 13 ). Проверим, что это действительно максимум, используя вторую производную: [ \frac{d^2P}{dx^2} = -2 ]

Так как вторая производная отрицательна (( -2 < 0 )), это указывает на то, что функция ( P = 26x - x^2 ) имеет максимум при ( x = 13 ).

Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 26, а произведение наибольшее, это 13 и 13. Максимальное произведение равно: [ P = 13 \cdot 13 = 169 ]