Найдите два натуральных числа, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.

Пусть x и y - искомые числа. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом: 1) x - y = 66 2) НОК(x, y) = 360

Решив данную систему уравнений, получим, что два искомых натуральных числа равны 120 и 54.

Пусть наши два числа обозначим как а и b. Тогда из условия задачи имеем систему уравнений:

1) a - b = 66 2) НОК(a, b) = 360

Для начала найдем НОД(a, b). Для этого можно воспользоваться тем, что НОК(a, b) НОД(a, b) = a b. Таким образом, имеем:

НОД(a, b) = a b / НОК(a, b) = a b / 360

Теперь, зная, что НОД(a, b) = a - b = 66, можем записать:

a b / 360 = 66 a b = 360 66 a b = 23760

Теперь остается найти два натуральных числа, произведение которых равно 23760 и разность которых равна 66. Можно провести некоторые вычисления или воспользоваться методом подбора. Одним из возможных вариантов будет a = 180 и b = 132.

Таким образом, два натуральных числа, разность которых равна 66, а их наименьшее общее кратное равно 360, это 180 и 132.

Для решения задачи нам нужно найти два натуральных числа, ( x ) и ( y ), такие, что:

1. Разность этих чисел равна 66: ( y - x = 66 ).
2. Их наименьшее общее кратное (НОК) равно 360: (\text{НОК}(x, y) = 360).

Начнем с первого условия: [ y = x + 66. ]

Подставим это в условие для НОК. Известно, что для двух чисел ( x ) и ( y ) выполняется следующее соотношение между их произведением, наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем (НОД):

[ x \cdot y = \text{НОК}(x, y) \cdot \text{НОД}(x, y). ]

Значит: [ x \cdot (x + 66) = 360 \cdot \text{НОД}(x, x+66). ]

Теперь нужно учесть, что ( x ) и ( x + 66 ) имеют разность 66, следовательно, их НОД должен быть делителем 66. Делители числа 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.

Попробуем перебрать возможные значения НОД и найдем соответствующие ( x ) и ( y ).

1. Если (\text{НОД}(x, y) = 1): [ x(x + 66) = 360 \cdot 1 = 360. ] Решая уравнение ( x^2 + 66x - 360 = 0 ), находим дискриминант: [ D = 66^2 + 4 \cdot 360 = 4356 + 1440 = 5796. ] Поскольку дискриминант не является полным квадратом, целых корней нет.

2. Если (\text{НОД}(x, y) = 2): [ x(x + 66) = 360 \cdot 2 = 720. ] Решая уравнение ( x^2 + 66x - 720 = 0 ), находим дискриминант: [ D = 66^2 + 4 \cdot 720 = 4356 + 2880 = 7236. ] Дискриминант не является полным квадратом, целых корней нет.

3. Если (\text{НОД}(x, y) = 3): [ x(x + 66) = 360 \cdot 3 = 1080. ] Решая уравнение ( x^2 + 66x - 1080 = 0 ), находим дискриминант: [ D = 66^2 + 4 \cdot 1080 = 4356 + 4320 = 8676. ] Дискриминант не является полным квадратом, целых корней нет.

4. Если (\text{НОД}(x, y) = 6): [ x(x + 66) = 360 \cdot 6 = 2160. ] Решая уравнение ( x^2 + 66x - 2160 = 0 ), находим дискриминант: [ D = 66^2 + 4 \cdot 2160 = 4356 + 8640 = 12996. ] Найдем корни: [ x = \frac{-66 \pm \sqrt{12996}}{2}. ] [ \sqrt{12996} = 114 \Rightarrow x = \frac{-66 \pm 114}{2}. ] [ x = 24 \quad \text{(положительный корень)}. ] Тогда ( y = x + 66 = 24 + 66 = 90 ).

Проверим: (\text{НОК}(24, 90)). Разложение на простые множители:

• ( 24 = 2^3 \times 3 )
• ( 90 = 2 \times 3^2 \times 5 )

Наименьшее общее кратное: [ \text{НОК}(24, 90) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360. ]

Таким образом, найденные числа ( x = 24 ) и ( y = 90 ) удовлетворяют обоим условиям задачи. Ответ: 24 и 90.