Найдите cos a если tg a= 3

Чтобы найти (\cos a), зная, что (\tan a = 3), можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями и основными свойствами прямоугольного треугольника.

1. Определение тангенса: Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике: [ \tan a = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{1} ] Это означает, что если противолежащий катет равен 3, а прилежащий катет равен 1, то мы можем построить прямоугольный треугольник с такими катетами.

2. Нахождение гипотенузы: Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (c): [ c = \sqrt{(3^2) + (1^2)} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ]

3. Нахождение косинуса: Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: [ \cos a = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{10}} ]

4. Приведение к удобному виду: Для удобства можно выразить косинус в более привычной форме, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{10}): [ \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} ]

Чтобы найти (\cos a), если (\tan a = 3), следуем следующему алгоритму:

Шаг 1. Связь между (\tan a), (\sin a) и (\cos a)

Мы знаем, что: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}. ] Здесь (\tan a = 3), значит: [ \frac{\sin a}{\cos a} = 3. ] Отсюда: [ \sin a = 3 \cos a. ]

Шаг 2. Основное тригонометрическое тождество

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ] Подставляем (\sin a = 3 \cos a) в это уравнение: [ (3 \cos a)^2 + \cos^2 a = 1. ] Раскроем квадрат: [ 9 \cos^2 a + \cos^2 a = 1. ] Суммируем: [ 10 \cos^2 a = 1. ]

Шаг 3. Найдем (\cos^2 a)

Разделим обе части уравнения на 10: [ \cos^2 a = \frac{1}{10}. ]

Шаг 4. Найдем (\cos a)

Берем квадратный корень из обеих сторон: [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{10}}. ] Упростим: [ \cos a = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}. ]

Шаг 5. Определение знака (\cos a)

Знак (\cos a) зависит от того, в какой четверти находится угол (a). Поскольку (\tan a = 3 > 0), угол (a) находится либо в первой четверти ((\cos a > 0), (\sin a > 0)), либо в третьей четверти ((\cos a < 0), (\sin a < 0)).

Если дополнительно не указано, в каком именно квадранте находится угол, общий ответ: [ \cos a = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}. ]

Итог

Если уточнить, что угол (a) находится в первой четверти, то: [ \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10}. ] Если в третьей четверти: [ \cos a = -\frac{\sqrt{10}}{10}. ]