Найдите cos a если sin дробь минус корень из 21деленное на 5 а принадлежит пи и 3 пи деленное на2

Для того чтобы найти (\cos a), если (\sin a = -\frac{\sqrt{21}}{5}) и (a) принадлежит интервалу (\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)), следуем следующим шагам:

1. Проверка допустимости значения (\sin a):

   • Значение (\sin a) должно быть в пределах ([-1, 1]). В данном случае (\sin a = -\frac{\sqrt{21}}{5}).
   • (\sqrt{21} \approx 4.58), значит (-\frac{\sqrt{21}}{5} \approx -\frac{4.58}{5} \approx -0.916).
   • Это значение находится в пределах допустимого диапазона.

2. Использование основной тригонометрической тождественности:

   • Основная тригонометрическая тождественность: (\sin^2 a + \cos^2 a = 1).
   • Подставим известное значение (\sin a): (\left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1).
   • Упростим: (\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = \frac{21}{25}).
   • Получим: (\frac{21}{25} + \cos^2 a = 1).
   • Решим уравнение для (\cos^2 a): (\cos^2 a = 1 - \frac{21}{25} = \frac{25}{25} - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}).
   • Следовательно, (\cos a = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} = \pm \frac{2}{5}).

3. Определение знака (\cos a) на основе интервала:

   • (a) принадлежит интервалу (\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)). Этот интервал соответствует третьей четверти на единичной окружности.
   • В третьей четверти (\sin a) отрицателен и (\cos a) тоже отрицателен.

Следовательно, (\cos a) должен быть отрицательным. Из двух возможных значений (\pm \frac{2}{5}), выбираем (-\frac{2}{5}).

Таким образом, (\cos a = -\frac{2}{5}).

Для нахождения значения ( \cos(a) ) необходимо воспользоваться формулой тригонометрического тождества ( \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 ). Имеем: [ \sin(a) = \frac{-\sqrt{21}}{5} ]

Так как ( \frac{-\sqrt{21}}{5} ) принадлежит интервалу ( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ), то угол ( a ) лежит в четвертой четверти плоскости, где значение ( \cos ) является положительным.

Теперь найдем значение ( \cos(a) ): [ \cos(a) = \sqrt{1 - \sin^2(a)} = \sqrt{1 - \left(\frac{-\sqrt{21}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} ]

Таким образом, ( \cos(a) = \frac{2}{5} ).