Найдите целые числа a и b такие, что справедливо равенство: (a√2+b√3)^2=11+4√6

a = 2, b = 3.

Для решения уравнения ((a\sqrt{2} + b\sqrt{3})^2 = 11 + 4\sqrt{6}), нужно сначала раскрыть левую часть уравнения. Раскроем квадрат суммы:

[ (a\sqrt{2} + b\sqrt{3})^2 = (a\sqrt{2})^2 + 2(a\sqrt{2})(b\sqrt{3}) + (b\sqrt{3})^2 ]

Это выражение можно упростить следующим образом:

[ = a^2 \cdot 2 + 2ab \cdot \sqrt{6} + b^2 \cdot 3 ]

[ = 2a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{6} ]

Теперь у нас есть два условия для равенства этих выражений:

1. (2a^2 + 3b^2 = 11)
2. (2ab = 4)

Решим второе уравнение для (ab):

[ 2ab = 4 \implies ab = 2 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. (2a^2 + 3b^2 = 11)
2. (ab = 2)

Из второго уравнения выразим (b) через (a):

[ b = \frac{2}{a} ]

Подставим это выражение для (b) в первое уравнение:

[ 2a^2 + 3\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 11 ]

[ 2a^2 + \frac{12}{a^2} = 11 ]

Умножим всё уравнение на (a^2), чтобы избавиться от дроби:

[ 2a^4 + 12 = 11a^2 ]

[ 2a^4 - 11a^2 + 12 = 0 ]

Обозначим (x = a^2), тогда уравнение превращается в квадратное относительно (x):

[ 2x^2 - 11x + 12 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 ]

[ x_1, x_2 = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} ]

[ x_1, x_2 = \frac{11 \pm 5}{4} ]

[ x_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ]

Так как (x = a^2) должно быть целым числом, то берём (x = 4). Тогда (a^2 = 4), откуда (a = \pm 2).

Теперь найдём (b), используя (ab = 2):

1. Если (a = 2), то (b = \frac{2}{2} = 1).
2. Если (a = -2), то (b = \frac{2}{-2} = -1).

Таким образом, возможные пары ((a, b)) — это ((2, 1)) и ((-2, -1)).

Проверим оба варианта:

1. ((a, b) = (2, 1)): [ (2\sqrt{2} + 1\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} + 1^2 \cdot 3 = 8 + 4\sqrt{6} + 3 = 11 + 4\sqrt{6} ]

2. ((a, b) = (-2, -1)): [ (-2\sqrt{2} - 1\sqrt{3})^2 = (-2)^2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot \sqrt{6} + (-1)^2 \cdot 3 = 8 + 4\sqrt{6} + 3 = 11 + 4\sqrt{6} ]

Оба варианта подходят, следовательно, целые числа (a) и (b), удовлетворяющие условию, это ((2, 1)) и ((-2, -1)).

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения:

(a√2 + b√3)^2 = a^2 2 + 2ab√6 + b^2 3 = 2a^2 + 3b^2 + 2ab√6

Теперь сравним полученное значение с правой частью уравнения:

11 + 4√6

Сравнивая коэффициенты при √6 в обеих частях, получаем систему уравнений:

2ab = 4 a^2 + b^2 = 11

Из первого уравнения находим, что ab = 2. Подставим это во второе уравнение:

a^2 + (2/a)^2 = 11 a^4 - 11a^2 + 4 = 0

Решим это уравнение в целых числах. Рассмотрим возможные варианты:

a^2 | 4 a | ±1, ±2

Подставим a = ±1, ±2 в уравнение и найдем соответствующие значения b:

a = 1: b = 2 a = -1: b = -2 a = 2: b = 1 a = -2: b = -1

Таким образом, целые числа a и b, при которых справедливо данное равенство, равны 1 и 2 или -1 и -2, или 2 и 1, или -2 и -1.