На ребре СС1 куба АВСDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1 Найдите угол между прямыми BEи AC1.
На ребре СС1 куба АВСDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1 Найдите угол между прямыми BEи AC1.
Для решения задачи начнем с построения куба и определения координат его вершин. Пусть куб имеет длину ребра ( a ). Тогда координаты вершин куба можно задать следующим образом:
Теперь найдем координаты точки ( E ) на ребре ( CC_1 ). Ребро ( CC_1 ) соединяет точки ( C(a, a, 0) ) и ( C_1(a, a, a) ). Параметризуем это ребро: точка ( E ) может быть представлена как
[ E(a, a, z) ]
где ( z ) изменяется от 0 до ( a ).
Согласно условию, отношение ( CE:EC_1 = 2:1 ). Это означает, что ( E ) делит отрезок ( CC_1 ) в отношении 2:1. Поскольку длина отрезка ( CC_1 ) равна ( a ), то длина ( CE ) будет равна ( \frac{2}{3}a ), а длина ( EC_1 ) будет равна ( \frac{1}{3}a ).
Таким образом, координата ( z ) точки ( E ) равна:
[ z = 0 + \frac{2}{3}a = \frac{2}{3}a ]
Итак, координаты точки ( E ) будут:
[ E\left(a, a, \frac{2}{3}a\right) ]
Теперь найдем векторы ( BE ) и ( AC_1 ).
Вектор ( BE ):
[ B(a, 0, 0) \rightarrow E\left(a, a, \frac{2}{3}a\right) ] [ BE = E - B = \left(a - a, a - 0, \frac{2}{3}a - 0\right) = (0, a, \frac{2}{3}a) ]
Вектор ( AC_1 ):
[ A(0, 0, 0) \rightarrow C_1(a, a, a) ] [ AC_1 = C_1 - A = \left(a - 0, a - 0, a - 0\right) = (a, a, a) ]
Теперь найдем угол между векторами ( BE ) и ( AC_1 ). Угол ( \theta ) между двумя векторами определяется формулой:
[ \cos \theta = \frac{BE \cdot AC_1}{|BE| |AC_1|} ]
Сначала найдем скалярное произведение ( BE \cdot AC_1 ):
[ BE \cdot AC_1 = (0, a, \frac{2}{3}a) \cdot (a, a, a) = 0 \cdot a + a \cdot a + \frac{2}{3}a \cdot a = a^2 + \frac{2}{3}a^2 = \frac{5}{3}a^2 ]
Теперь найдем длины векторов ( |BE| ) и ( |AC_1| ):
[ |BE| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(\frac{2}{3}a\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \sqrt{\frac{13}{9}a^2} = \frac{\sqrt{13}}{3}a ]
[ |AC_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} ]
Теперь подставим значения в формулу для ( \cos \theta ):
[ \cos \theta = \frac{\frac{5}{3}a^2}{\left(\frac{\sqrt{13}}{3}a\right) (a\sqrt{3})} = \frac{\frac{5}{3}a^2}{\frac{\sqrt{39}}{3}a^2} = \frac{5}{\sqrt{39}} ]
Теперь найдем угол ( \theta ):
[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{39}}\right) ]
Таким образом, угол между прямыми ( BE ) и ( AC_1 ) равен ( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{39}}\right) ).
Давайте подробно рассмотрим задачу.
У нас есть куб ( ABCD A_1B_1C_1D_1 ). На ребре ( C C_1 ) отмечена точка ( E ), такая что отношение ( CE:EC_1 = 2:1 ). Нужно найти угол между прямыми ( BE ) и ( AC_1 ).
Для решения удобно перейти к координатам и векторному представлению.
Пусть куб имеет длину ребра ( a ) и расположен в декартовой системе координат. Тогда координаты вершин куба будут:
Точка ( E ) лежит на ребре ( CC_1 ), поэтому ее координаты можно выразить через отношение деления:
Итак, координаты точки ( E ) — ( \left(a, a, \frac{2a}{3}\right) ).
Вектор ( \vec{BE} ): [ \vec{BE} = E - B = \left(a, a, \frac{2a}{3}\right) - (a, 0, 0) = \left(0, a, \frac{2a}{3}\right). ]
Вектор ( \vec{AC_1} ): [ \vec{AC_1} = C_1 - A = (a, a, a) - (0, 0, 0) = (a, a, a). ]
Угол между векторами ( \vec{BE} ) и ( \vec{AC_1} ) можно найти по формуле скалярного произведения: [ \cos \theta = \frac{\vec{BE} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{BE}| \cdot |\vec{AC_1}|}. ]
Скалярное произведение ( \vec{BE} \cdot \vec{AC_1} ): [ \vec{BE} \cdot \vec{AC_1} = (0, a, \frac{2a}{3}) \cdot (a, a, a) = 0 \cdot a + a \cdot a + \frac{2a}{3} \cdot a = a^2 + \frac{2a^2}{3} = \frac{5a^2}{3}. ]
Длины векторов:
Подставляем в формулу для ( \cos \theta ): [ \cos \theta = \frac{\frac{5a^2}{3}}{\frac{\sqrt{13}a}{3} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{\frac{5a^2}{3}}{\frac{a^2 \sqrt{39}}{3}} = \frac{5}{\sqrt{39}}. ]
Угол между прямыми ( BE ) и ( AC_1 ) находится как: [ \theta = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{39}}\right). ]
Для нахождения угла между прямыми ( BE ) и ( AC_1 ) в кубе, где точка ( E ) делит отрезок ( CC_1 ) в отношении ( 2:1 ), можно воспользоваться координатами вершин куба.
Обозначим координаты вершин куба:
Точка ( E ) делит отрезок ( CC_1 ) в отношении ( 2:1 ), значит её координаты: [ E\left(0, 0, \frac{2}{3}\right) ]
Теперь определим координаты точек ( B ) и ( A ):
Координаты точки ( A ) и ( C_1 ):
Теперь найдем векторы ( BE ) и ( AC_1 ): [ BE = E - B = \left(0, 0, \frac{2}{3}\right) - (1, 0, 0) = (-1, 0, \frac{2}{3}) ] [ AC_1 = C_1 - A = (0, 0, 1) - (0, 1, 0) = (0, -1, 1) ]
Теперь вычислим угол между векторами ( BE ) и ( AC_1 ) с помощью скалярного произведения: [ \cos \theta = \frac{BE \cdot AC_1}{|BE| |AC_1|} ]
Сначала найдем скалярное произведение: [ BE \cdot AC_1 = (-1)(0) + (0)(-1) + \left(\frac{2}{3}\right)(1) = \frac{2}{3} ]
Теперь найдем длины векторов: [ |BE| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 0 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3} ] [ |AC_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} ]
Теперь подставим все в формулу для косинуса угла: [ \cos \theta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{26}} ]
Следовательно, угол ( \theta ) можно найти как: [ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{26}}\right) ]
Таким образом, угол между прямыми ( BE ) и ( AC_1 ) равен: [ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{26}}\right) ]
