Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами...

Для разложения многочлена ( f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 12x - 15 ) на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, мы можем использовать данную информацию о корне ( 2 + i ).

1. Комплексные корни: Поскольку коэффициенты многочлена действительны, комплексные корни всегда идут парами комплексно-сопряжённых. Поэтому, если ( 2 + i ) является корнем, то ( 2 - i ) тоже является корнем.

2. Квадратный множитель: Используем корни ( 2 + i ) и ( 2 - i ) для построения квадратного множителя: [ (x - (2+i))(x - (2-i)) = ((x - 2) - i)((x - 2) + i) ] [ = (x - 2)^2 - i^2 = (x - 2)^2 + 1 ] [ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 ]

   Это квадратный множитель, который имеет отрицательный дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 ]

3. Деление многочлена: Теперь разделим исходный многочлен ( f(x) ) на найденный квадратный множитель ( x^2 - 4x + 5 ).

   Используя деление многочленов, ( f(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + ax + b) ). Чтобы найти ( a ) и ( b ), проведём деление:

   [ \begin{align*} x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 12x - 15 & \div (x^2 - 4x + 5) \ x^4 - 4x^3 + 5x^2 & \quad (x^2) \ \hline & \quad 0x^3 - 3x^2 + 12x \

   • (0x^3 + 0x^2 + 0x) & \quad (-3) \ \hline & \quad -3x^2 + 12x - 15 \
   • (-3x^2 + 12x - 15) & \ \hline & \quad 0 \end{align*} ]

   Таким образом, второй множитель будет ( x^2 - 3 ).

4. Разложение на множители: Теперь у нас есть:

   [ f(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 3) ]

   Окончательное разложение многочлена:

   • ( x^2 - 4x + 5 ) — это квадратный множитель с отрицательным дискриминантом.
   • ( x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) ) — это линейные множители.

Таким образом, разложение многочлена на множители с действительными коэффициентами будет:

[ f(x) = (x^2 - 4x + 5)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) ]

Давайте разложим данный многочлен на линейные и квадратные множители.

Известно, что если комплексное число a+bi является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то его сопряженное число a-bi также будет корнем этого многочлена. Таким образом, если 2+i является корнем многочлена x⁴-4x³+2x²+12x-15, то 2-i также является его корнем.

Следовательно, многочлен разлагается на множители следующим образом: (x - (2 + i))(x - (2 - i))(ax² + bx + c) = x⁴-4x³+2x²+12x-15

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: (x - 2 - i)(x - 2 + i)(ax² + bx + c) = x⁴-4x³+2x²+12x-15 (x - 2)² - i²(ax² + bx + c) = x⁴-4x³+2x²+12x-15 (x² - 4x + 5)(ax² + bx + c) = x⁴-4x³+2x²+12x-15

Теперь раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: ax⁴ + (b-4a)x³ + (5a-4b+cx²) = x⁴-4x³+2x²+12x-15

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, мы получим систему уравнений, которую можно решить, чтобы найти значения коэффициентов a, b и c.

После нахождения коэффициентов a, b и c, выразим квадратный множитель и получим окончательное разложение многочлена на линейные и квадратные множители.