Многочлен P(x) при делении на x-1 дает остаток 3, а при делении x-2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления многочлена P(x) на x^2-3x+2
Многочлен P(x) при делении на x-1 дает остаток 3, а при делении x-2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления многочлена P(x) на x^2-3x+2
Для нахождения остатка от деления многочлена ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ), мы сначала заметим, что ( x^2 - 3x + 2 ) можно разложить на множители:
[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). ]
По теореме о остатках, если многочлен ( P(x) ) делится на многочлен ( x^2 - 3x + 2 ), то остаток от деления будет иметь вид:
[ R(x) = ax + b, ]
где ( a ) и ( b ) — некоторые константы. Поскольку степень остатка меньше степени делителя, мы можем выразить остаток в виде линейного многочлена.
Далее, согласно условиям задачи, мы знаем остатки от деления ( P(x) ) на ( x - 1 ) и ( x - 2 ):
При делении ( P(x) ) на ( x - 1 ) остаток равен 3, то есть: [ P(1) = 3. ]
При делении ( P(x) ) на ( x - 2 ) остаток равен 5, то есть: [ P(2) = 5. ]
Теперь подставим ( R(x) = ax + b ) в эти уравнения.
Подставим ( x = 1 ): [ P(1) = a(1) + b = a + b = 3. ]
Подставим ( x = 2 ): [ P(2) = a(2) + b = 2a + b = 5. ]
Теперь у нас есть система уравнений:
[ \begin{cases} a + b = 3 \ 2a + b = 5 \end{cases} ]
Решим эту систему. Выразим ( b ) из первого уравнения:
[ b = 3 - a. ]
Подставим это значение во второе уравнение:
[ 2a + (3 - a) = 5. ]
Упростим:
[ 2a + 3 - a = 5 \implies a + 3 = 5 \implies a = 2. ]
Теперь подставим ( a = 2 ) в первое уравнение, чтобы найти ( b ):
[ 2 + b = 3 \implies b = 1. ]
Таким образом, мы нашли значения ( a ) и ( b ):
[ a = 2, \quad b = 1. ]
Следовательно, остаток ( R(x) ) от деления многочлена ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ) равен:
[ R(x) = 2x + 1. ]
Таким образом, ответ: остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ) равен ( 2x + 1 ).
Давайте разберем задачу по шагам, чтобы получить расширенный ответ.
Когда многочлен ( P(x) ) делится на другой многочлен ( D(x) ), существует разложение вида: [ P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x), ] где:
В данной задаче многочлен ( P(x) ) делится на ( x^2 - 3x + 2 ). Заметим, что степень делителя ( x^2 - 3x + 2 ) равна 2. Это значит, что остаток ( R(x) ) будет многочленом степени меньше 2. То есть: [ R(x) = ax + b, ] где ( a ) и ( b ) — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.
Заметим, что ( x^2 - 3x + 2 ) можно разложить на множители: [ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). ] Это удобно, так как теперь можно использовать свойства деления: при делении ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ), остаток ( R(x) ) должен также удовлетворять условиям деления на ( x - 1 ) и ( x - 2 ).
По условию:
Мы уже знаем, что остаток от деления ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ) имеет вид ( R(x) = ax + b ). Следовательно, можно записать: [ P(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x), ] где ( R(x) = ax + b ).
Подставим ( x = 1 ) и ( x = 2 ) в это равенство, чтобы воспользоваться данными условиями.
При ( x = 1 ) имеем: [ P(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + R(1). ] Первое слагаемое обращается в ноль, так как ( (1 - 1) = 0 ). Значит: [ P(1) = R(1). ] По условию ( P(1) = 3 ). Следовательно: [ R(1) = 3. ] Подставим ( R(x) = ax + b ): [ R(1) = a \cdot 1 + b = a + b. ] Получаем первое уравнение: [ a + b = 3. \tag{1} ]
Аналогично, при ( x = 2 ) имеем: [ P(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + R(2). ] Первое слагаемое снова обращается в ноль, так как ( (2 - 2) = 0 ). Значит: [ P(2) = R(2). ] По условию ( P(2) = 5 ). Следовательно: [ R(2) = 5. ] Подставим ( R(x) = ax + b ): [ R(2) = a \cdot 2 + b = 2a + b. ] Получаем второе уравнение: [ 2a + b = 5. \tag{2} ]
У нас есть система уравнений: [ a + b = 3, \tag{1} ] [ 2a + b = 5. \tag{2} ]
Вычтем первое уравнение из второго: [ (2a + b) - (a + b) = 5 - 3, ] [ a = 2. ]
Теперь подставим ( a = 2 ) в первое уравнение: [ 2 + b = 3, ] [ b = 1. ]
Подставляя найденные значения ( a ) и ( b ), получаем: [ R(x) = ax + b = 2x + 1. ]
Остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x^2 - 3x + 2 ) равен: [ R(x) = 2x + 1. ]
