M^2+16n^2+8mn-b^2разложите на множители

Разложение многочлена на множители — это процесс представления его в виде произведения двух или более многочленов. Рассмотрим выражение ( m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 ).

Для упрощения и разложения на множители используем метод группировки и некоторые алгебраические тождества. Перепишем выражение следующим образом:

[ m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 ]

Первое, что можно заметить, это наличие квадрата переменной ( m ) и квадрата переменной ( 4n ), а также их удвоенного произведения:

[ m^2 + 16n^2 + 8mn = (m + 4n)^2 ]

Теперь перепишем исходное выражение, используя это представление:

[ (m + 4n)^2 - b^2 ]

Мы получили разность квадратов, которая разлагается по формуле ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ):

[ (m + 4n)^2 - b^2 = \big((m + 4n) - b\big)\big((m + 4n) + b\big) ]

Таким образом, окончательное разложение на множители будет:

[ m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 = \big((m + 4n) - b\big)\big((m + 4n) + b\big) ]

В итоге, выражение ( m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 ) может быть разложено на множители как (\big(m + 4n - b\big)\big(m + 4n + b\big)).

Для разложения данного выражения на множители, нам необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы двух слагаемых.

Итак, у нас есть выражение m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2. Мы видим, что первые три члена могут быть представлены в виде квадрата суммы двух слагаемых: (m + 4n)^2.

Теперь мы можем переписать выражение в следующем виде: (m + 4n)^2 - b^2.

Заметим, что это является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Таким образом, выражение m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2 можно разложить на множители следующим образом: (m + 4n + b)(m + 4n - b).

m^2+16n^2+8mn-b^2 = (m + 4n)^2 - b^2