(Log6(36x)–1) / (log^26x–log6x^3) ≥0

Для начала распишем данное неравенство:

(log6(36x) – 1) / (log26x – log6x^3) ≥ 0

Преобразуем логарифмы с основанием 6 и 26:

(log6(6^2 * x) – 1) / ((log26x) / (log6) – (log6x^3) / (log6)) ≥ 0

Упростим выражение:

(2 + log6x – 1) / (log26x / log6 – 3log6x / log6) ≥ 0

(1 + log6x) / (log26x / log6 – 3) ≥ 0

Далее, воспользуемся свойствами логарифмов:

(1 + log6x) / (log26x / log6 – 3) = (1 + log6x) / (log6(26x) – 3) = (1 + log6x) / (log6(26x / 6^3)) = (1 + log6x) / (log6(26x / 216))

Таким образом, получаем:

(1 + log6x) / (log6(26x / 216)) ≥ 0

Для того чтобы неравенство было выполнено, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковые знаки.

Когда log6x > -1, т.е. x > 6^(-1), числитель положителен. Когда log6(26x / 216) > 0, т.е. 26x / 216 > 1, x > 8.3077

Итак, условие x > 6^(-1) и x > 8.3077, значит x > 8.3077.

Ответ: x > 8.3077.

Для решения неравенства (\frac{\log_6(36x) - 1}{\log^2_6 x - \log_6 x^3} \geq 0), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Упростим числитель

Числитель: (\log_6(36x) - 1).

[ \log_6(36x) = \log_6(36) + \log_6(x) ]

Поскольку (36 = 6^2), то (\log_6(36) = 2). Таким образом,

[ \log_6(36x) = 2 + \log_6(x) ]

Подставим в числитель:

[ \log_6(36x) - 1 = 2 + \log_6(x) - 1 = 1 + \log_6(x) ]

Шаг 2: Упростим знаменатель

Знаменатель: (\log^2_6 x - \log_6 x^3).

Преобразуем второй член:

[ \log_6 x^3 = 3 \log_6 x ]

Тогда знаменатель становится:

[ \log^2_6 x - 3 \log_6 x ]

Это выражение можно записать как квадратный трехчлен относительно (\log_6 x):

[ (\log_6 x)^2 - 3 \log_6 x ]

Шаг 3: Решение неравенства

Неравенство принимает вид:

[ \frac{1 + \log_6(x)}{(\log_6 x)^2 - 3 \log_6 x} \geq 0 ]

Найдём ОДЗ

Для существования логарифма, (x > 0).

Знаменатель не должен быть равен нулю:

[ (\log_6 x)^2 - 3 \log_6 x = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

[ t^2 - 3t = 0 ]

где (t = \log_6 x). Вынесем (t) за скобки:

[ t(t - 3) = 0 ]

Получаем (t = 0) или (t = 3).

Таким образом, (\log_6 x = 0) или (\log_6 x = 3).

Соответственно, (x = 6^0 = 1) и (x = 6^3 = 216).

ОДЗ: (x > 0), (x \neq 1), (x \neq 216).

Исследуем знаки

1. ((1 + \log_6 x)) — положительно, если (\log_6 x > -1), т.е. (x > \frac{1}{6}).
2. ((\log_6 x)^2 - 3 \log_6 x = (\log_6 x)(\log_6 x - 3)).

Из этого следует, что:

• ((\log_6 x)) меняет знак при (x = 1).
• ((\log_6 x - 3)) меняет знак при (x = 216).

Промежутки

• (0 < x < 1): числитель (-), знаменатель (+) (отрицателен).
• (1 < x < 216): числитель (+), знаменатель (-) (отрицателен).
• (x > 216): числитель (+), знаменатель (+) (положителен).

Ответ

Неравенство выполняется на промежутке (x > 216), с учётом ОДЗ.