Log3(x^2-1)< log3(x+1)+1 помогите пожалуйста очень нужно

Решим неравенство ( \log_3(x^2 - 1) < \log_3(x + 1) + 1 ).

1. Перепишем неравенство: Мы можем преобразовать правую часть неравенства, используя свойство логарифмов: [ \log_3(x + 1) + 1 = \log_3(x + 1) + \log_3(3) = \log_3(3(x + 1)). ] Таким образом, неравенство можно переписать так: [ \log_3(x^2 - 1) < \log_3(3(x + 1)). ]

2. Убираем логарифмы: Поскольку логарифм является возрастающей функцией, мы можем убрать логарифмы (при условии, что аргументы логарифмов положительны): [ x^2 - 1 < 3(x + 1). ]

3. Решаем неравенство: Раскроем скобки на правой стороне: [ x^2 - 1 < 3x + 3. ] Переносим все в одну сторону: [ x^2 - 3x - 4 < 0. ] Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения ( x^2 - 3x - 4 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. ] Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2} = {4, -1}. ]

4. Определяем промежутки: Теперь мы знаем, что корни — это ( x = -1 ) и ( x = 4 ). Разобьем числовую прямую на промежутки:

   • ( (-\infty, -1) )
   • ( (-1, 4) )
   • ( (4, +\infty) )

   Теперь проверим знак функции ( x^2 - 3x - 4 ) на каждом из этих промежутков:

   • Для ( x < -1 ) (например, ( x = -2 )): ( (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 ).
   • Для ( -1 < x < 4 ) (например, ( x = 0 )): ( 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 ).
   • Для ( x > 4 ) (например, ( x = 5 )): ( 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 ).

   Таким образом, знак неравенства ( x^2 - 3x - 4 < 0 ) выполняется на промежутке ( (-1, 4) ).

5. Условия на аргументы логарифма: Теперь нам нужно проверить, что аргументы логарифмов положительны:

   • ( x^2 - 1 > 0 ) дает ( x < -1 ) или ( x > 1 ).
   • ( x + 1 > 0 ) дает ( x > -1 ).

   Таким образом, положительные значения для логарифмов требуют:

   • ( x > 1 ).

6. Соберем все условия: Мы нашли, что ( x ) должно быть в промежутке ( (-1, 4) ) и одновременно ( x > 1 ). Это дает: [ 1 < x < 4. ]

Таким образом, решением неравенства ( \log_3(x^2 - 1) < \log_3(x + 1) + 1 ) является: [ \boxed{(1, 4)}. ]

Чтобы решить неравенство ( \log_3(x^2 - 1) < \log_3(x + 1) + 1 ), сначала преобразуем его:

1. Преобразуем ( +1 ) в логарифмическую форму: ( +1 = \log_3(3) ).
2. Неравенство можно переписать как: [ \log_3(x^2 - 1) < \log_3((x + 1) \cdot 3) ]
3. Убираем логарифмы (помним, что основание логарифма больше 1, значит неравенство сохраняет знак): [ x^2 - 1 < (x + 1) \cdot 3 ]
4. Раскроем скобки: [ x^2 - 1 < 3x + 3 ]
5. Приведем все к одной стороне: [ x^2 - 3x - 4 < 0 ]
6. Найдем корни уравнения ( x^2 - 3x - 4 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ] Корни: [ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 ]
7. Неравенство ( x^2 - 3x - 4 < 0 ) выполняется между корнями: [ -1 < x < 4 ]
8. Однако, необходимо учесть условия, при которых логарифмы определены:
   • ( x^2 - 1 > 0 ) (то есть ( x < -1 ) или ( x > 1 )),
   • ( x + 1 > 0 ) (то есть ( x > -1 )).

Таким образом, пересекаем условия: ( x > 1 ) и ( x < 4 ).

Ответ: ( 1 < x < 4 ).

Рассмотрим неравенство:
[ \log_3(x^2 - 1) < \log_3(x + 1) + 1 ]

Шаг 1. Условие существования выражений

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) — область, в которой все логарифмы существуют. Напомним, что логарифм определён, если его основание больше 0, не равно 1, а аргумент больше 0. В данном случае основание логарифма — (3), оно подходит (больше 1 и больше 0). Поэтому мы должны потребовать:

1. (x^2 - 1 > 0) (аргумент первого логарифма положителен),
2. (x + 1 > 0) (аргумент второго логарифма положителен).

Решение первого условия: (x^2 - 1 > 0)

Разложим выражение на множители:
[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ]
Неравенство (x^2 - 1 > 0) означает, что произведение положительно. Проанализируем знаки произведения с помощью метода интервалов:

1. Корни уравнения (x^2 - 1 = 0) — это (x = -1) и (x = 1).
2. На числовой оси точки (-1) и (1) делят её на 3 интервала:
   • (x \in (-\infty, -1)),
   • (x \in (-1, 1)),
   • (x \in (1, \infty)).
3. Определим знак выражения ((x - 1)(x + 1)) на каждом интервале:
   • На интервале (x \in (-\infty, -1)): оба множителя ((x + 1)) и ((x - 1)) отрицательны, их произведение положительно.
   • На интервале (x \in (-1, 1)): множители имеют разные знаки, произведение отрицательно.
   • На интервале (x \in (1, \infty)): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, (x^2 - 1 > 0), когда:
[ x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) ]

Решение второго условия: (x + 1 > 0)

[ x + 1 > 0 \implies x > -1 ]

Теперь пересечём обе области:

• (x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)),
• (x > -1).

Пересечение даёт:
[ x \in (1, \infty). ]

Шаг 2. Преобразование неравенства

Мы выяснили, что (x \in (1, \infty)). Теперь работаем с исходным неравенством:
[ \log_3(x^2 - 1) < \log_3(x + 1) + 1. ]
Воспользуемся свойством логарифма:
[ \log_a b + c = \log_a(b \cdot a^c), ]
где (a > 0), (a \neq 1), (b > 0). Применим это свойство к правой части:
[ \log_3(x^2 - 1) < \log_3\big((x + 1) \cdot 3\big). ]

Теперь воспользуемся свойством монотонности логарифма (логарифм с основанием больше 1 — возрастающая функция):
[ x^2 - 1 < (x + 1) \cdot 3. ]

Шаг 3. Решение полученного неравенства

Раскроем скобки в правой части:
[ x^2 - 1 < 3x + 3. ]
Перенесём все члены влево:
[ x^2 - 3x - 4 < 0. ]

Разложим квадратный трёхчлен на множители:
[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1). ]
Неравенство принимает вид:
[ (x - 4)(x + 1) < 0. ]

Решение методом интервалов

1. Найдём корни уравнения ((x - 4)(x + 1) = 0): (x = -1) и (x = 4).
2. На числовой оси точки (-1) и (4) делят её на интервалы:
   • (x \in (-\infty, -1)),
   • (x \in (-1, 4)),
   • (x \in (4, \infty)).
3. Определим знак выражения ((x - 4)(x + 1)) на каждом интервале:
   • На интервале (x \in (-\infty, -1)): оба множителя ((x - 4)) и ((x + 1)) отрицательны, произведение положительно.
   • На интервале (x \in (-1, 4)): множители имеют разные знаки, произведение отрицательно.
   • На интервале (x \in (4, \infty)): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, ((x - 4)(x + 1) < 0), когда:
[ x \in (-1, 4). ]

Шаг 4. Учитываем ОДЗ

Напомним, что из области допустимых значений (x \in (1, \infty)). Пересекаем это с решением (x \in (-1, 4)):
[ (1, \infty) \cap (-1, 4) = (1, 4). ]

Ответ:

Решением неравенства является:
[ x \in (1, 4). ]