Log2(3x-1)-log2(5x+1)<log2(x-1)-2 Помогите с Решением

Для решения данного неравенства с логарифмами, сначала объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

log2[(3x-1)/(5x+1)] < log2(x-1) - 2

Теперь применим свойство логарифмов, согласно которому логарифм разности равен разности логарифмов:

log2[(3x-1)/(5x+1)] < log2(x-1) - log2(4)

Затем применим свойство логарифма, согласно которому логарифм отношения равен разности логарифмов:

log2[(3x-1)/(5x+1)] < log2[(x-1)/4]

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, равенство внутри логарифмов должно быть равным:

(3x-1)/(5x+1) < (x-1)/4

Далее решаем полученное неравенство методами алгебры.

Для решения данного неравенства нужно использовать свойства логарифмов. Перенесите все логарифмы на одну сторону уравнения и преобразуйте его к виду, где слева останется логарифм отношения двух выражений, а справа будет логарифм числа. Затем примените правило выражения логарифмов через степени и решите полученное уравнение.

Конечно, давайте пошагово разберём решение неравенства:

[ \log_2(3x - 1) - \log_2(5x + 1) < \log_2(x - 1) - 2 ]

Шаг 1: Использование свойств логарифмов

Применим свойства логарифмов, чтобы упростить выражение. Вспомним, что (\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)):

[ \log_2\left(\frac{3x - 1}{5x + 1}\right) < \log_2(x - 1) - 2 ]

Шаг 2: Перенос константы

Перенесём константу -2 в логарифм:

[ \log_2\left(\frac{3x - 1}{5x + 1}\right) < \log_2(x - 1) - \log_2(4) ]

Так как (\log_2(4) = 2), получаем:

[ \log_2\left(\frac{3x - 1}{5x + 1}\right) < \log_2\left(\frac{x - 1}{4}\right) ]

Шаг 3: Избавление от логарифмов

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, применим основное свойство логарифмов. Так как логарифмы с одинаковыми основаниями, то неравенство (\log_2(A) < \log_2(B)) эквивалентно неравенству (A < B):

[ \frac{3x - 1}{5x + 1} < \frac{x - 1}{4} ]

Шаг 4: Решение рационального неравенства

Преобразуем неравенство:

[ 4(3x - 1) < (5x + 1)(x - 1) ]

Раскроем скобки:

[ 12x - 4 < 5x^2 - 5x + x - 1 ] [ 12x - 4 < 5x^2 - 4x - 1 ]

Переносим все члены в одну сторону неравенства:

[ 0 < 5x^2 - 4x - 1 - 12x + 4 ] [ 0 < 5x^2 - 16x + 3 ]

Шаг 5: Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратичное неравенство:

[ 5x^2 - 16x + 3 > 0 ]

Найдём корни квадратного уравнения (5x^2 - 16x + 3 = 0):

[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 ] [ \sqrt{D} = 14 ]

Корни уравнения:

[ x_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = 3 ] [ x_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0.2 ]

Шаг 6: Интервалы

Неравенство (5x^2 - 16x + 3 > 0) выполняется на промежутках, где парабола выше оси (x). Это промежутки:

[ x < 0.2 \quad \text{и} \quad x > 3 ]

Шаг 7: Условия существования логарифмов

Не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

1. (3x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{3})
2. (5x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{5}) (но это уже включено в 1-е условие)
3. (x - 1 > 0 \implies x > 1)

Таким образом, ОДЗ:

[ x > 1 ]

Шаг 8: Пересечение интервалов

Пересечение интервалов (x < 0.2) и (x > 3) с ОДЗ (x > 1):

Остаётся только интервал:

[ x > 3 ]

Ответ

Решение неравенства:

[ x > 3 ]