Log по основанию 5 (1/25) + log по основанию корень из 3 (27)

Чтобы решить выражение ( \log5 \left(\frac{1}{25}\right) + \log{\sqrt{3}}(27) ), начнем с каждого логарифма по отдельности.

1. Решение ( \log_5 \left(\frac{1}{25}\right) ): Заметим, что ( \frac{1}{25} = 25^{-1} ) и ( 25 = 5^2 ). Таким образом, мы можем переписать ( \frac{1}{25} ) как: [ \frac{1}{25} = 5^{-2} ] Теперь подставим это в логарифм: [ \log_5 \left(\frac{1}{25}\right) = \log_5 (5^{-2}) ] Используя свойство логарифмов, что ( \log_b (a^c) = c \cdot \log_b (a) ), получаем: [ \log_5 (5^{-2}) = -2 \cdot \log_5 (5) = -2 ]

2. Решение ( \log_{\sqrt{3}}(27) ): Заметим, что ( 27 = 3^3 ). Подставим это в логарифм: [ \log{\sqrt{3}}(27) = \log{\sqrt{3}}(3^3) ] Используя то же свойство логарифмов, получаем: [ \log{\sqrt{3}}(3^3) = 3 \cdot \log{\sqrt{3}}(3) ] Теперь найдем ( \log{\sqrt{3}}(3) ). Мы можем выразить его через логарифмы с другим основанием: [ \log{\sqrt{3}}(3) = \frac{\log_3(3)}{\log_3(\sqrt{3})} ] Поскольку ( \log_3(3) = 1 ) и ( \log_3(\sqrt{3}) = \log_3(3^{1/2}) = \frac{1}{2} \log3(3) = \frac{1}{2} ), мы получаем: [ \log{\sqrt{3}}(3) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 ] Таким образом, [ \log_{\sqrt{3}}(27) = 3 \cdot 2 = 6 ]

3. Сложим оба логарифма: Теперь мы можем подставить найденные значения в исходное выражение: [ \log5 \left(\frac{1}{25}\right) + \log{\sqrt{3}}(27) = -2 + 6 = 4 ]

Итак, окончательный ответ: [ \log5 \left(\frac{1}{25}\right) + \log{\sqrt{3}}(27) = 4 ]

Давайте разберем данный пример пошагово.

Нам нужно вычислить выражение:

[ \log5 \left( \frac{1}{25} \right) + \log{\sqrt{3}} (27). ]

Шаг 1. Упростим первый логарифм: (\log_5 \left( \frac{1}{25} \right))

1. Вспомним свойство логарифма для дробей:
   [ \log_a \left( \frac{1}{b} \right) = -\log_a(b). ] Применяя это свойство, получаем:
   [ \log_5 \left( \frac{1}{25} \right) = -\log_5(25). ]

2. Теперь заметим, что (25 = 5^2), и используем еще одно свойство логарифма:
   [ \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b). ] Следовательно:
   [ \log_5(25) = \log_5(5^2) = 2 \cdot \log_5(5). ]

3. А поскольку (\log_5(5) = 1), то:
   [ \log_5(25) = 2. ]

4. Подставляем это значение обратно:
   [ \log_5 \left( \frac{1}{25} \right) = -\log_5(25) = -2. ]

Итак, первый логарифм равен (-2).

Шаг 2. Упростим второй логарифм: (\log_{\sqrt{3}}(27))

1. Вспомним свойство замены основания логарифма:
   [ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\logc(a)}, ] где (c) — любое удобное основание. Возьмем (c = 3):
   [ \log{\sqrt{3}}(27) = \frac{\log_3(27)}{\log_3(\sqrt{3})}. ]

2. Теперь вычислим каждую часть этой дроби отдельно.

   • Сначала (\log_3(27)):
     Поскольку (27 = 3^3), то:
     [ \log_3(27) = \log_3(3^3) = 3 \cdot \log_3(3) = 3 \cdot 1 = 3. ]

   • Затем (\log_3(\sqrt{3})):
     Поскольку (\sqrt{3} = 3^{1/2}), то:
     [ \log_3(\sqrt{3}) = \log_3(3^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_3(3) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}. ]

3. Подставляем эти значения в дробь:
   [ \log_{\sqrt{3}}(27) = \frac{\log_3(27)}{\log_3(\sqrt{3})} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6. ]

Итак, второй логарифм равен (6).

Шаг 3. Сложим результаты

Теперь вернемся к исходному выражению:
[ \log5 \left( \frac{1}{25} \right) + \log{\sqrt{3}}(27) = -2 + 6 = 4. ]

Ответ:

[ \boxed{4} ]