Корень из x+8 > x+2 решить иррациональное неравенство

Для решения иррационального неравенства (\sqrt{x+8} > x+2) необходимо рассмотреть область допустимых значений и исследовать поведение функции в этой области.

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Неравенство (\sqrt{x+8} > x+2) содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

[ x + 8 \geq 0 ]

Отсюда следует:

[ x \geq -8 ]

Таким образом, область допустимых значений: (x \in [-8, +\infty)).

Шаг 2: Решение неравенства

Перепишем неравенство:

[ \sqrt{x+8} > x+2 ]

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

[ x+8 > (x+2)^2 ]

Раскроем скобки в правой части:

[ x+8 > x^2 + 4x + 4 ]

Перенесем все члены в одну сторону неравенства:

[ 0 > x^2 + 4x + 4 - x - 8 ]

Упростим выражение:

[ 0 > x^2 + 3x - 4 ]

Это неравенство можно переписать как:

[ x^2 + 3x - 4 < 0 ]

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Решим квадратное уравнение (x^2 + 3x - 4 = 0) для нахождения корней:

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 1), (b = 3), (c = -4).

Подставим значения:

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} ]

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} ]

[ x = \frac{-3 \pm 5}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 ]

[ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 ]

Шаг 4: Исследование знаков

Рассмотрим промежутки, определенные корнями: ((-∞, -4)), ((-4, 1)), ((1, +∞)).

• На промежутке ((-∞, -4)), выберем точку, например, (x = -5):

  ((-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0).

• На промежутке ((-4, 1)), выберем точку, например, (x = 0):

  (0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0).

• На промежутке ((1, +∞)), выберем точку, например, (x = 2):

  (2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0).

Таким образом, неравенство (x^2 + 3x - 4 < 0) выполняется на промежутке ((-4, 1)).

Шаг 5: Учет ОДЗ и вывод

С учетом ОДЗ (x \geq -8), решение сводится к пересечению промежутков ([-8, +\infty)) и ((-4, 1)). Таким образом, решение неравенства:

[ x \in (-4, 1) ]

Ответ: (x \in (-4, 1)).

Для решения данного иррационального неравенства необходимо выполнить следующие шаги:

1. Возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: (x + 8) > (x + 2)^2

2. Раскроем квадрат справа: (x + 8) > x^2 + 4x + 4

3. Перенесем все члены в левую часть неравенства: 0 > x^2 + 4x + 4 - x - 8

4. Упростим неравенство: 0 > x^2 + 3x - 4

5. Найдем корни квадратного уравнения: x^2 + 3x - 4 = 0 D = 3^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25 x1,2 = (-3 ± √25) / 2 x1 = (-3 + 5) / 2 = 1 x2 = (-3 - 5) / 2 = -4

6. Проверим значения на промежутках (-бесконечность; -4), (-4; 1) и (1; +бесконечность): 6.1. Для x < -4: x^2 + 3x - 4 > 0, неравенство не выполняется 6.2. Для -4 < x < 1: x^2 + 3x - 4 < 0, неравенство выполняется 6.3. Для x > 1: x^2 + 3x - 4 > 0, неравенство не выполняется

Таким образом, решение иррационального неравенства (x + 8) > (x + 2) - это -4 < x < 1.