Корень из 6 в 4 степени; корень из (-5)в 6 степени, корень из (-8)в 4 степени; корень из (о.1) в 6 степени;...

Для начала разберемся с арифметическими и алгебраическими операциями, связанными с корнями и степенями.

Пример 1: √(6^4)

1. Изначальная задача: Возведение числа 6 в четвертую степень, а затем извлечение квадратного корня.
2. Выполнение возведения в степень: [ 6^4 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296 ]
3. Извлечение квадратного корня: [ \sqrt{1296} = 36 ] Это происходит потому, что ( 36 \times 36 = 1296 ).

Итог: Корень из ( 6^4 ) равен 36.

Пример последний: √((-1)^(4n+6)), где n принадлежит натуральным числам

1. Изначальная задача: Возведение числа -1 в степень ( 4n+6 ), где ( n ) — натуральное число, после чего извлечение квадратного корня из результата.
2. Анализ степени:
   • Свойство степеней с отрицательными базами и четными показателями: ( (-1)^{четное\ число} = 1 ).
   • ( 4n+6 ) всегда будет четным числом, так как 4n является четным для любого натурального ( n ), и добавление 6 сохраняет четность.
3. Выполнение возведения в степень: [ (-1)^{4n+6} = 1 ] Это следует из свойства четных степеней для (-1).
4. Извлечение квадратного корня: [ \sqrt{1} = 1 ]

Итог: Корень из ( (-1)^{4n+6} ) равен 1 для любого натурального ( n ).

Вывод заключается в том, что во втором расширенном примере, несмотря на то что обсуждаются корни и степени отрицательных чисел, применение четных степеней позволяет упростить выражение до корня квадратного из 1, результат которого всегда равен 1.

1) Корень из 6 в 4 степени: Корень из 6 в 4 степени равен четвертому корню из 6, что можно записать как ∛∛∛∛6 = (6)^(1/4) = 6^(1/4) ≈ 1.565.

2) Корень из (-1) в степени 4n+6: Для нахождения корня из (-1) в степени 4n+6 можно воспользоваться формулой Эйлера: (-1)^(4n+6) = (-1)^(4n) (-1)^6 = 1 1 = 1. Таким образом, корень из (-1) в степени 4n+6 равен 1 для любого натурального числа n.