Корень 6 степени, √m^3n^4/192 : корень 6степени √ m^15/3n^5

Для того чтобы упростить данное выражение, сначала преобразуем числитель и знаменатель отдельно:

√(m^3 n^4) = √m^3 √n^4 = m * n^2

√(m^15 / 3n^5) = √m^15 / √(3n^5) = m^5 / √(3n^5) = m^5 / √(3n^5) = m^5 / √3 √n^5 = m^5 / √3 n^2.5

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

(m n^2) / 192 : (m^5 / √3 n^2.5)

Для того чтобы делить два корня из разных выражений, нужно объединить их под одним корнем:

(m n^2) / 192 / (m^5 / √3 n^2.5) = (m n^2) / (192 m^5) √3 / n^2.5 = 1 / (192m^4) √3 n^0.5 = √3 / (192m^4) n^0.5

Таким образом, расширенным ответом на вопрос будет √3 / (192m^4) * n^0.5.

Давайте разберём выражение: (\sqrt[6]{\frac{m^3 n^4}{192}} : \sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3 n^5}}).

Для удобства, сначала упростим каждое из выражений под корнями отдельно, а затем займемся их делением.

1. Упростим (\sqrt[6]{\frac{m^3 n^4}{192}}):

[ \sqrt[6]{\frac{m^3 n^4}{192}} ]

Чтобы упростить это выражение, сначала рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:

[ \sqrt[6]{m^3 n^4} = \sqrt[6]{m^3} \cdot \sqrt[6]{n^4} ]

[ \sqrt[6]{m^3} = m^{3/6} = m^{1/2} ]

[ \sqrt[6]{n^4} = n^{4/6} = n^{2/3} ]

Теперь вернемся к общему выражению:

[ \sqrt[6]{\frac{m^3 n^4}{192}} = \frac{\sqrt[6]{m^3 n^4}}{\sqrt[6]{192}} = \frac{m^{1/2} n^{2/3}}{192^{1/6}} ]

1. Теперь упростим (\sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3 n^5}}):

[ \sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3 n^5}} ]

Также рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:

[ \sqrt[6]{m^{15}} = m^{15/6} = m^{5/2} ]

[ \sqrt[6]{n^5} = n^{5/6} ]

Теперь вернемся к общему выражению:

[ \sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3 n^5}} = \frac{\sqrt[6]{m^{15}}}{\sqrt[6]{3 n^5}} = \frac{m^{5/2}}{\sqrt[6]{3} \cdot n^{5/6}} ]

Теперь мы можем разделить одно выражение на другое:

[ \frac{\sqrt[6]{\frac{m^3 n^4}{192}}}{\sqrt[6]{\frac{m^{15}}{3 n^5}}} = \frac{\frac{m^{1/2} n^{2/3}}{192^{1/6}}}{\frac{m^{5/2}}{\sqrt[6]{3} \cdot n^{5/6}}} ]

При делении дробей умножаем первую дробь на обратную второй:

[ = \frac{m^{1/2} n^{2/3}}{192^{1/6}} \cdot \frac{\sqrt[6]{3} \cdot n^{5/6}}{m^{5/2}} ]

Теперь мы можем объединить и упростить:

[ = \frac{m^{1/2} n^{2/3} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot n^{5/6}}{192^{1/6} \cdot m^{5/2}} ]

Объединяем степени ( n ):

[ = \frac{m^{1/2} n^{2/3 + 5/6} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{5/2}} ]

Приводим к общему знаменателю:

[ 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2 ]

Теперь:

[ = \frac{m^{1/2} n^{3/2} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{5/2}} ]

Разделим степени ( m ):

[ = \frac{n^{3/2} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{5/2 - 1/2}} ]

[ = \frac{n^{3/2} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{4/2}} ]

[ = \frac{n^{3/2} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{2}} ]

Итак, финальный результат:

[ \frac{n^{3/2} \cdot \sqrt[6]{3}}{192^{1/6} \cdot m^{2}} ]

Это и будет окончательное упрощённое выражение.