Корень 15х+х + корень 3+х =6

Чтобы решить уравнение ( \sqrt{15x + x} + \sqrt{3 + x} = 6 ), сначала упростим его:

1. Объединим под корнем: ( \sqrt{16x} + \sqrt{3 + x} = 6 ).
2. Упростим: ( 4\sqrt{x} + \sqrt{3 + x} = 6 ).

Теперь выразим ( \sqrt{3 + x} ):

[ \sqrt{3 + x} = 6 - 4\sqrt{x}. ]

Квадратим обе стороны:

[ 3 + x = (6 - 4\sqrt{x})^2. ]

Раскроем скобки:

[ 3 + x = 36 - 48\sqrt{x} + 16x. ]

Переносим все на одну сторону:

[ 15x - 48\sqrt{x} + 33 = 0. ]

Теперь можно решить это уравнение, введя замену ( \sqrt{x} = t ):

[ 15t^2 - 48t + 33 = 0. ]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 33. ]

Находим корни и возвращаемся к ( x ). Убедитесь, что найденные значения удовлетворяют исходному уравнению.

Давайте решим уравнение:

[ \sqrt{15x + x} + \sqrt{3 + x} = 6 ]

Шаг 1. Упростим выражение под первым корнем:

[ \sqrt{15x + x} = \sqrt{16x}. ] Теперь уравнение принимает вид: [ \sqrt{16x} + \sqrt{3 + x} = 6. ]

Шаг 2. Обозначим переменные:

Пусть: [ \sqrt{16x} = a \quad \text{и} \quad \sqrt{3 + x} = b. ] Тогда уравнение можно переписать как: [ a + b = 6. ]

Кроме того, из определения (a) и (b) мы имеем: [ a^2 = 16x \quad \text{и} \quad b^2 = 3 + x. ]

Шаг 3. Выразим (x) через (a) и (b):

Из первого уравнения ((a^2 = 16x)) выразим (x): [ x = \frac{a^2}{16}. ]

Подставим это значение (x) во второе уравнение ((b^2 = 3 + x)): [ b^2 = 3 + \frac{a^2}{16}. ]

Умножим на 16, чтобы избавиться от дроби: [ 16b^2 = 48 + a^2. ]

Шаг 4. Используем связь (a + b = 6):

Из условия (a + b = 6) выразим (b): [ b = 6 - a. ]

Теперь подставим это значение (b) в уравнение (16b^2 = 48 + a^2): [ 16(6 - a)^2 = 48 + a^2. ]

Шаг 5. Раскрываем скобки и упрощаем:

Раскроем квадрат: [ (6 - a)^2 = 36 - 12a + a^2. ] Значит: [ 16(36 - 12a + a^2) = 48 + a^2. ]

Раскроем скобки: [ 576 - 192a + 16a^2 = 48 + a^2. ]

Перенесем все в одну сторону: [ 16a^2 - a^2 - 192a + 576 - 48 = 0. ] [ 15a^2 - 192a + 528 = 0. ]

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение:

Упростим: [ 15a^2 - 192a + 528 = 0. ]

Разделим уравнение на 3 для удобства: [ 5a^2 - 64a + 176 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение по формуле: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ] Здесь: [ A = 5, \quad B = -64, \quad C = 176. ]

Подставим в формулу: [ a = \frac{-(-64) \pm \sqrt{(-64)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 176}}{2 \cdot 5}. ] [ a = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 3520}}{10}. ] [ a = \frac{64 \pm \sqrt{576}}{10}. ] [ a = \frac{64 \pm 24}{10}. ]

Два корня: [ a_1 = \frac{64 + 24}{10} = \frac{88}{10} = 8.8, ] [ a_2 = \frac{64 - 24}{10} = \frac{40}{10} = 4. ]

Шаг 7. Найдем (b) и проверим:

Если (a = 4), то (b = 6 - 4 = 2).

Подставим (a = 4) и (b = 2) в начальные уравнения: [ \sqrt{16x} = 4 \quad \Rightarrow \quad 16x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 1. ] [ \sqrt{3 + x} = 2 \quad \Rightarrow \quad 3 + x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1. ]

Решение удовлетворяет уравнению. Следовательно, (x = 1).

Ответ:

[ x = 1. ]

Чтобы решить уравнение (\sqrt{15x + x} + \sqrt{3 + x} = 6), сначала упростим его.

1. Объединим подобные слагаемые в первом корне: [ \sqrt{15x + x} = \sqrt{16x} = 4\sqrt{x} ]

   Таким образом, уравнение можно переписать как: [ 4\sqrt{x} + \sqrt{3 + x} = 6 ]

2. Переносим (4\sqrt{x}) на правую сторону: [ \sqrt{3 + x} = 6 - 4\sqrt{x} ]

3. Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: [ 3 + x = (6 - 4\sqrt{x})^2 ]

   Раскроем квадрат правой стороны: [ 3 + x = 36 - 48\sqrt{x} + 16x ]

4. Переносим все слагаемые на одну сторону: [ x - 16x + 48\sqrt{x} + 3 - 36 = 0 ] [ -15x + 48\sqrt{x} - 33 = 0 ]

5. Умножим всё уравнение на -1 для удобства: [ 15x - 48\sqrt{x} + 33 = 0 ]

6. Далее, выразим (\sqrt{x}) через (y), где (y = \sqrt{x}) (тогда (x = y^2)): [ 15y^2 - 48y + 33 = 0 ]

7. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 33 ] [ D = 2304 - 1980 = 324 ]

8. Находим корни уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 15} ] [ \sqrt{324} = 18 ] [ y = \frac{48 \pm 18}{30} ]

   Находим два значения: [ y_1 = \frac{66}{30} = 2.2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{30}{30} = 1 ]

9. Теперь возвращаемся к (x): [ \sqrt{x} = 2.2 \Rightarrow x = (2.2)^2 = 4.84 ] [ \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1^2 = 1 ]

10. Проверяем оба корня в исходном уравнении:

    • Для (x = 4.84): [ \sqrt{15 \cdot 4.84 + 4.84} + \sqrt{3 + 4.84} \approx \sqrt{73.6} + \sqrt{7.84} \approx 8.58 + 2.8 = 11.38 \quad (\text{не подходит}) ]

    • Для (x = 1): [ \sqrt{15 \cdot 1 + 1} + \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 \quad (\text{подходит}) ]

Таким образом, единственным решением уравнения является: [ \boxed{1} ]