Х⁴+х²-2=0 найдите корни биквадратного уравнения

Для нахождения корней биквадратного уравнения x⁴ + x² - 2 = 0, можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим x² = t, тогда уравнение примет вид t² + t - 2 = 0. Решим это квадратное уравнение: t₁ = 1, t₂ = -2. Теперь подставим обратно x² вместо t: x² = 1 и x² = -2. Решая эти уравнения, получим корни: x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = √2, x₄ = -√2. Таким образом, корнями биквадратного уравнения x⁴ + x² - 2 = 0 будут числа 1, -1, √2 и -√2.

Для решения биквадратного уравнения (x^4 + x^2 - 2 = 0), сначала введем замену (y = x^2). Таким образом, уравнение преобразуется в квадратное относительно (y):

[y^2 + y - 2 = 0]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминантный метод. Формула дискриминанта для уравнения вида (ay^2 + by + c = 0) выглядит так:

[D = b^2 - 4ac]

В нашем случае (a = 1), (b = 1), и (c = -2). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9]

Дискриминант (D = 9) положителен, что означает, что у уравнения есть два различных действительных корня. Найдем эти корни по формуле:

[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

Подставим наши значения:

[y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}]

Теперь найдем конкретные значения корней:

1. [y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1]
2. [y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2]

Следовательно, у нас есть два значения (y): (y = 1) и (y = -2). Вспомним, что (y = x^2), и решим эти уравнения относительно (x):

1. (x^2 = 1)

   [x = \pm \sqrt{1} = \pm 1]

2. (x^2 = -2)

   Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительными корнями исходного биквадратного уравнения являются:

[x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1]

Ответ: Корни уравнения (x^4 + x^2 - 2 = 0) — это (x = 1) и (x = -1).