(Х-4)/(х-3) +6/(х²-9)=1/2 Помогите срочно, пожалуйста

Для начала приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что (x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)). Тогда можем записать (6/(x^2 - 9) = 6/((x - 3)(x + 3))).

Теперь объединим дроби: ((x - 4)/(x - 3) + 6/((x - 3)(x + 3)) = (x - 4)/(x - 3) + 6/((x - 3)(x + 3))).

Далее приведем к общему знаменателю: ((x - 4)(x + 3)/((x - 3)(x + 3)) + 6/(x - 3)(x + 3) = ((x - 4)(x + 3) + 6)/((x - 3)(x + 3))).

Получаем уравнение: ((x^2 - x - 12 + 6)/((x - 3)(x + 3)) = 1/2).

Далее упростим числитель: ((x^2 - x - 6)/((x - 3)(x + 3)) = 1/2).

Теперь умножим обе части уравнения на ((x - 3)(x + 3)): (2(x^2 - x - 6) = (x - 3)(x + 3)).

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: (2x^2 - 2x - 12 = x^2 - 9).

Перенесем все члены уравнения в одну часть: (2x^2 - 2x - 12 - x^2 + 9 = 0).

Упростим: (x^2 - 2x - 3 = 0).

Факторизуем или используем квадратное уравнение: ((x - 3)(x + 1) = 0).

Таким образом, получаем два корня уравнения: (x = 3) и (x = -1).

Конечно, давайте решим уравнение:

[ \frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{x^2-9} = \frac{1}{2} ]

Для начала рассмотрим все дроби в уравнении. Видно, что знаменатель во второй дроби можно разложить на множители:

[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) ]

Теперь уравнение примет вид:

[ \frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2} ]

Приведем все дроби к общему знаменателю, которым будет ((x-3)(x+3)):

[ \frac{(x-4)(x+3) + 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2} ]

Раскроем скобки в числителе:

[ \frac{(x^2 + 3x - 4x - 12) + 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2} ]

Упростим числитель:

[ \frac{x^2 - x - 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2} ]

Теперь уравняем числители (так как знаменатели равны):

[ 2(x^2 - x - 6) = (x-3)(x+3) ]

Раскроем скобки правой части и упростим:

[ 2(x^2 - x - 6) = x^2 - 9 ]

Раскроем скобки в левой части:

[ 2x^2 - 2x - 12 = x^2 - 9 ]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

[ 2x^2 - 2x - 12 - x^2 + 9 = 0 ]

Упростим:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где (a = 1), (b = -2), (c = -3):

[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ]

[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} ]

[ x = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Таким образом, у нас два решения:

[ x = \frac{2 + 4}{2} = 3 ]

и

[ x = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

Однако, (x = 3) не подходит, так как оно делает знаменатель первой дроби равным нулю, что невозможно. Поэтому единственное решение:

[ x = -1 ]

Проверим, подходит ли (x = -1):

[ \frac{-1-4}{-1-3} + \frac{6}{(-1)^2-9} = \frac{1}{2} ]

[ \frac{-5}{-4} + \frac{6}{1-9} = \frac{1}{2} ]

[ \frac{5}{4} + \frac{6}{-8} = \frac{1}{2} ]

[ \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2} ]

[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

Ответ подтверждён. Единственное решение:

[ x = -1 ]