Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через 5 1 3 ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.
Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда скорость катера относительно воды при движении вниз по течению будет равна 20 + V км/ч, а при движении вверх по течению будет равна 20 - V км/ч.
Поскольку катер прошел от одной пристани до другой и обратно, то суммарное время движения в обе стороны должно быть равно 5 1/3 часа.
Рассмотрим движение катера вниз по течению. Расстояние между пристанями равно 48 км, а скорость катера относительно воды в данном случае будет 20 + V км/ч. Тогда время, затраченное на движение от первой пристани до второй, можно выразить следующим образом:
t1 = 48 / (20 + V)
Аналогично, для движения вверх по течению время можно выразить как:
t2 = 48 / (20 - V)
Согласно условию задачи, сумма этих двух времен должна быть равна 5 1/3 часа:
t1 + t2 = 5 1/3
Подставляем выражения для t1 и t2 и решаем уравнение относительно V:
48 / (20 + V) + 48 / (20 - V) = 5 1/3
После решения этого уравнения найдем значение скорости течения реки V.
Для решения задачи о движении катера по реке с учетом скорости течения нужно воспользоваться формулами для движения по течению и против течения. Давайте обозначим скорость течения реки через ( v ) км/ч.
Катер совершил поездку туда и обратно, и общее время в пути (включая стоянку) составило ( 5 \frac{1}{3} ) часа, что эквивалентно ( 5 \frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3} = 5.333 ) часа.
Обозначим время, которое катер затратил на движение от одной пристани до другой по течению, через ( t_1 ) часа, а время на движение обратно против течения через ( t_2 ) часа.
Расстояние по течению: [ t_1 \times (20 + v) = 48 ] [ t_1 = \frac{48}{20 + v} ]
Расстояние против течения: [ t_2 \times (20 - v) = 48 ] [ t_2 = \frac{48}{20 - v} ]
Теперь, общая сумма времени в пути плюс время стоянки составляет 5.333 часа. Время стоянки равно 20 минут, что эквивалентно ( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ) часа.
Составим уравнение для общего времени: [ t_1 + t_2 + \frac{1}{3} = 5.333 ]
Учитываем, что ( 5.333 - \frac{1}{3} = 5 ): [ t_1 + t_2 = 5 ]
Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{48}{20 + v} + \frac{48}{20 - v} = 5 ]
Чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю: [ \frac{48(20 - v) + 48(20 + v)}{(20 + v)(20 - v)} = 5 ] [ \frac{48 \cdot 20 - 48v + 48 \cdot 20 + 48v}{400 - v^2} = 5 ] [ \frac{960}{400 - v^2} = 5 ]
Теперь умножим обе части уравнения на ( 400 - v^2 ): [ 960 = 5 (400 - v^2) ] [ 960 = 2000 - 5v^2 ]
Переносим все на одну сторону уравнения: [ 5v^2 = 2000 - 960 ] [ 5v^2 = 1040 ] [ v^2 = \frac{1040}{5} ] [ v^2 = 208 ] [ v = \sqrt{208} ] [ v = \sqrt{16 \times 13} ] [ v = 4\sqrt{13} ]
Таким образом, скорость течения реки равна ( 4\sqrt{13} ) км/ч, что приблизительно равно ( 14.4 ) км/ч.
