Катер проходит против течения реки до пункта назначения 120 км и после непродолжительной стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 20 минут, а в пункт отправления катер возвращается через 17 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими обозначениями: пусть ( v ) будет скоростью катера в неподвижной воде (в км/ч), а ( u ) – скоростью течения реки, которая по условию задачи равна 3 км/ч.
Время, затраченное на всё путешествие, включая время на стоянку, составляет 17 часов. Поскольку стоянка длится 20 минут, то в пути катер находится ( 17 \text{ часов} - 20 \text{ минут} = 16 \text{ часов} 40 \text{ минут} = 16 + \frac{20}{60} = 16.33 ) часа.
Скорость катера против течения равна ( v - u ), а по течению ( v + u ). Расстояние в обе стороны одинаково и равно 120 км. Тогда время, затраченное на путь против течения, равно ( \frac{120}{v - 3} ), а по течению – ( \frac{120}{v + 3} ).
Так как общее время в пути (без стоянки) составляет 16.33 часа, составим уравнение: [ \frac{120}{v - 3} + \frac{120}{v + 3} = 16.33 ]
Приведем это уравнение к общему знаменателю: [ \frac{120(v + 3) + 120(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 16.33 ] [ 240v = 16.33(v^2 - 9) ] [ 16.33v^2 - 240v - 146.97 = 0 ]
Решим квадратное уравнение относительно ( v ): [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 16.33, b = -240, c = -146.97 ).
[ v = \frac{-(-240) \pm \sqrt{(-240)^2 - 4 \cdot 16.33 \cdot (-146.97)}}{2 \cdot 16.33} ] [ v = \frac{240 \pm \sqrt{57600 + 9577.192}}{32.66} ] [ v = \frac{240 \pm \sqrt{67177.192}}{32.66} ] [ v = \frac{240 \pm 259.18}{32.66} ]
Получаем два корня: [ v_1 = \frac{240 + 259.18}{32.66} \approx 15.29 \text{ км/ч}, ] [ v_2 = \frac{240 - 259.18}{32.66} \approx -0.59 \text{ км/ч} (нереалистичный результат для скорости). ]
Таким образом, скорость катера в неподвижной воде составляет примерно 15.29 км/ч.
Пусть скорость катера в неподвижной воде равна V км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет равна V + 3 км/ч, а против течения - V - 3 км/ч.
По условию, катер проходит до пункта назначения 120 км со скоростью V + 3 км/ч и возвращается обратно со скоростью V - 3 км/ч. После стоянки в пункте назначения и возвращения к пункту отправления проходит 17 часов.
Используем формулу расстояния: время = расстояние / скорость. Тогда время в пути до пункта назначения будет равно 120 / (V + 3), время стоянки - 20 минут (или 20/60 = 1/3 часа), а время возвращения обратно - 120 / (V - 3).
Составляем уравнение, учитывая время в пути и время стоянки: 120 / (V + 3) + 1/3 + 120 / (V - 3) = 17
Решив это уравнение, мы найдем значение V - скорость катера в неподвижной воде.
